两类易混淆问题分类解析

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1、两类易混淆问题分类解析函数的存在性和任意性问题，是一种常见题型，也是高考的热点之一.它们既有区别又有联系，意义和转化方法各不相同，容易混淆•对于这类问题，利用函数的相关知识，可以把相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数最值大小的比较•下面结合实例来辨析这几种问题的转化区别.1.?埸xWD,?埸x£D,使得f(x)=g(x),等价于函数f(x)在D上的值域A与函数g(x)在D上的值域B的交集不空，即AQBH?准.例1:已知函数f(x)二，0),若存在x,xW[0,1],使得f(x)=f(x)成立，则实数a的取

2、值范围是()A.(,]B.[1,2)C.[,2]D.[1,]解：设函数f(x)与g(x)在[0,1]上的值域分别为A与B,依题意AQBH?准.当xe[0,1]时，易得A二[0,]；当xe[0,1]时，易得B=[l_a,I-].因为ADBH?准，所以0W1-aW或0W1-W,解得WaW2,故应选C.2.对？埜xWD,?蜗x^D,使得f(x)=g(x),等价于函数f(x)在D上的值域A是函数g(x)在D上的值域B的子集，即A?

3、，aWR.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a=l,且bHO,函数g(x)=bx-bx,若对任意的xW(1,2),总存在xW(1,2),使f(x)=g(x),求实数b的取值范围.解(1)略；(2)依题意实数b的取值范围就是使得在区间(1,2)±g(x)的值域A是f(x)的值域B的子集实数b的取值范围.当a=l,xW(1,2)时，由f(x)=lnx~x得f'(x)=-1=0,xW(1,2)时，gz(x)>0,故g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(1)0.(1)若x二1是函数h(x)二f(x)+g(x)的极值点，求实数

4、a的值；(2)若对任意的x,xW[1,e]都有f(x)2g(x)成立，求实数a的取值范围.解:(1)略;(2)对？埜x,xW[l,e],有f(x)(x),等价于xw[1,e]有f(x)Mg(x)・易得g(x)=e+l,要证x£[1,e]时，f(x)(x),即f(x)上e+1.由上知求f(x)需对参数a进行分类讨论过程繁而长，其实可避免分类讨论，不等式恒成立问题往往转化最值问题来解决,逆向思维，由于f(x)难求，将f(x)Ne+l退回到恒成立问题：证xW[1,e]时，f(x)2e+l即x+2e+l恒成立，只需证当xG[1,

5、e]时，h(x)=x-(e+1)x+a20恒成立，只需证h(x)NO.因为h‘(x)二2x-eT，令h‘(x)=0得x二丘［1,e］•当1WxO,故h(x)=h()=a-()20,所以a2,故所求实数a的取值范围是［,+°°)・点评：这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化，将一个需要分类讨论的最值问题f(x)转化为另一个不需要分类讨论的最值问题h(x)20.4•若对？埜xWD,?坍xWD,使f(x)(x),等价于f(X)在D上的最小值不小于g(X)在D上的最小值即f(x)(x)(这里假设f(x),

6、g(X)存在).例4(2010年山东):已知函数f(x)二lnx-ax+T(aUR).(1)当aW时,讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=x-2bx+4,当&二时，若对任意xU(0,2),存在xW［l,2］,使f(x)(x),求实数b的取值范围.解：(1)略；(2)依题意f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在［1,2］上的最小值即f(x)(x),于是问题转化为最值问题.当a二时，f(x)=lnx-x+-l,所以f‘(x)=--=,则当00,所以当xe(0,2)时，f(x)=f(1)=-.g(x)=x-2bx+

7、4,①当b2时，可求得g(x)=g(2)=8-4b,由8-4bW-得bM综合①②③得实数b的取值范围是［,+8).解。