数学学习心理的cpfs结构理论

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1、第l2卷第1期数学教育学报Vo1．12，No．12003年2月JOURNALOFIA：I'腼IA：I’ICSEDUCATIONFeb．。2003数学学习心理的CPFS结构理论喻平，单增(南京师范大学数学与计算机科学学院，江苏南京210097)摘要：一个数学概念c的所有等价定义的图式，叫做概念c的概念域．一组具有数学抽象关系的概念网络的图式叫做概念系．与一个命题等价的命题集的图式叫做这个命题的命题域．在一个命题集中，任意一个命题都至少与其它某一个命题有“推出”关系，就称这个命题集的图式为一个命题系．概念域、概念系、命

2、题域、命题系(记为CPFS结构)是对数学认知结构的精确描述，它反应了命题系数学学习特有的心理现象和规律．关键词：数学学习；认知结构；概念域；命题域中圈分类号：G442文献标识码：A文章编号：1004-9894(2003l01--0012--05教学实践中，往往会产生这样的现象：在概念其中d为常数，，z，mEN，，z≥1．学习中，当学生学习了一个概念之后，在具体应用⋯⋯这个概念时会出现类型各异的错误，或者是没有把例2“距离”的概念．握概念的内涵，无法辨认概念的反例，或者是不能以A，表示点；Z，m表示直线；N，P表示理

3、解概念的变式．在命题学习中，当学生学习了一平面；P(A，Ⅳ)，P(A，If)分别表示A到平面Ⅳ，A个命题，特别是学习了一组命题后，往往不会灵活到直线Z的距离；inf表示下确界；S，(i=1，2)应用这些命题．产生这些现象的原因是多方面的，为空间点集．则有如下概念扩展链：我们认为，个体的CPFS结构是一个主要因素．(A，If)=inf{(A，)I∈Z}1CPFS结构--)(A，Ⅳ)=inf{(A，)I∈N}--)(A，=inf{P(A，)I∈m，mcS}1．1概念域与概念系--)(Z，=inf{(A，)IA∈f’∈m

4、}一般而言，数学概念具有抽象化、形式化、逻--)(Z，Ⅳ)=inf{(A，)IA∈Z，∈N}辑化和简明化的特征，这是从静态角度去考察个别--)(Ⅳ'尸)=inf{(A，)IA∈Ⅳ’∈P}概念的结果．如果从动态的层面去分析个别概念或--)(Ml，M2)=inf{(A，)IA∈Ml，∈M2}．概念系统，那么就会对数学概念特征做出更准确的分析上面2个例子，可以看到数学概念的3个刻画．特征：(1)对同一个概念，可以从不同的侧面或选首先，分析下面2个例子．择不同的角度去刻画，即，可以采用彼此等价的一例1关于等差数列的定义．组

5、定义去描述同一个概念．(2)概念具有发展性，数列{}是等差数列，当且仅当在不同背景下可以赋予一个概念新的意义．(3)数c+l—口n=d，学概念不是孤立的，定义一个新概念往往要用到诸其中d为常数，，z∈N，，z≥1．多的旧概念，概念之间存在弱抽象、强抽象或广义甘数列{}是等差数列，当且仅当抽象关系【l】，因而组成一个由概念作为结点，由关tin+l-an=an-an-1，，z∈N，，z>12．·系作为纽带的概念体系．甘数列{}是等差数列，当且仅当徐利治等提出了数学抽象度概念与抽象度分On=al+(n-1)d，析法，认为

6、数学对象之间可用3种抽象关系来刻画：其中d为常数，，z∈N，，z>12．(1)弱抽象．从原型中选取某一特征(侧面)加以甘数列{}是等差数列，当且仅当．抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成On口m+(，卜，，1)d，为后者的特例．例如，欧氏空间_+内积空间_+距离收稿日期：2002-11．o5誓

7、金项目：全国教育科学“十五”规潮课月—-学教育心理学研究(FBB011029)作者筒介：哈平(1956一)，男，重庆人，1I京蓖大学薮学与计算机科学学院教授，’．士．主要从搴奠学租膏教学论研党．第1期喻平等：数学学习

8、心理的CpFs结构理论13空间拓扑空间，组成的是一个弱抽象链．(2)强念网络，这个网络中的概念问存在一些特定的数学抽象．通过引入新的特征来强化原结构，使获得的关系．概念域是概念系的子图式．新的概念或理论是原型的特例．例如，函数_+连续1．2命题域与命题系函数可微函数解析函数，组成一个强抽象作为概念域(系)的自然推广，我们提出命题链．(3)广义抽象．在定义概念时用到了概念A，域(PropositionField)与命题系(PropositionSystem)或者在证明命题曰时用到了命题A，则称曰是A的理论．广义抽象，

9、即日比A抽象．显然，这3种抽象关系如果命题A成立，当且仅当命题曰成立，那么反映了数学对象之间特有的内在联系．就称A与曰是等价命题，记为Ac：~B．与命题A等根据数学概念的特征，我们提出概念域价的所有命题组成的命题集叫做命题A的等价命题(ConceptField)和概念系(ConceptSystem)理论．类，记为{Al，并称A为典型命题．典型命题A的现代认知