图形探索题目

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1、未名教育年级学科教案学生姓名：教师姓名：授课日期：图形内的探索问题例题1：2010年中考题设的面积是,的面积为(),当，且时，则称与有一定的“全等度”如图7，已知梯形,

2、

3、°，∠°，连结.（1）若,求证：与有一定的“全等度”；（2）你认为：与有一定的“全等度”正确吗？若正确说明理由；若不正确，请举出一个反例说明解答．（1）证明：1分2分过点作于点E.3分在Rt中，4分5分有一定的“全等度”.6分（2）解：有一定的“全等度”不正确.7分6/6反例：若，则不具有一定的“全等度”.8分都是钝角三角形，且两钝角不相等.不相似9分若，则不具有一定的“全等度”.10分例题

4、2.（2011龙岩）（12分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。（1）如图①，α=______°时，BC∥DE；（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：图②中α=______°时，______∥______；图③中α=______°时，______∥______。解答、（1）15（2）图②中α=60°时，BC∥DA，图③中α=105°时，BC∥EA例题32011年莆田市2

5、5.(本小题满分14分)已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。6

6、/6解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=∠ADC=×60°=30°又∵E、F分别为DC、CB中点∴OE=CD，OF=BC，AO=AD∴0E=OF=OA∴点O即为△AEF的外心。（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=1

7、20°，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。②为定值2.当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心解法一：如图3．设MN交BC于点G设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则CN=∵BC∥DA∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．∴∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM∴，∴∴∴，即其它解法略。例题4；如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂

8、线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.（1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；6/6（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.【解析】要想证明△ABC与△SBR相似，只要证明其中的两个角相等即可；要想得到TS=PA，只要证明△TPS≌△PFA即可；对于（3），需要建立正方形PTEF的面积y与AP的函数关系式，利用函数的极值来解决.【答案】解：(1

9、)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，∴△ABC∽△SBR..(2)线段TS的长度与PA相等.∵四边形PTEF是正方形，∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°,在Rt△PFA中，∠PFA＋∠FPA＝90°,∴∠PFA＝∠TPS，∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.当点P运动到使得T与R重合时，这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS.由以上可知，线段ST的长度与PA相等.(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高

10、，∴PS＝BS,∴BS＋