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《高中数学中的对称性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学中的对称性关于点对称(1)点关于点的对称点问题若点MO。,％)关于点P(o,b)的对称点M的坐标(x,y),则P为MM的屮点，利用中点坐标公式可得。=迢宁，&=解算的M'的坐标为(2°-兀0,2DMg,%)Mg)2'2MW例如点M(6,-3)关于点P(l,・2)的对称点M'的坐标是①点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点M的坐标./②点M(x0Oo)关于原点的对称点M的坐标■(2)直线关于点对称①直线L：Ar+By+C=0关于原点的对称直线设所求直线上一点为M(x,y),则它关于原点的对称点为M(-x-y),因为M'点在直线厶上，故有A(—x)+3(—y
2、)+C=0,即A¥+By—C=0；②直线厶：Ar+B.y+C二0关于某一点P(a,b)的对称直线厶解法(一)：在直线厶上任取一点M(x,y),则它关于P的对称点为M2a-x,2b-yy因为M'点在厶上，把M'点坐标代入直线在厶中,便得到厶的方程即为A(2a—x)+B(2b—y)+C=O。ft解法(二)：rtlKlx=Kl2,可设/］：Ar+Qy+C=0关于点P(a,b)的对称直线为Ar+By+C'=OAa+Bb+C_Aa+Bb+C'Ja，+B2Va2+B2求设C‘从而可求的及对称直线方程。(3)曲线关于点对称曲线C}:f(x9y)=0关于P(a,b)的对称曲线的
3、求法：设M(x,y)是所求曲线的任一点，则M点关于P(a,b)的对称点为(2a-X,2b-y)在曲线/(x,y)=O上。故对称曲线方程为/(2。一兀,2b-y)=0°关于直线的对称(1)点关于直线的对称1)点P(a,b)关于兀轴的对称点为Pa-b}2)点P(a,b)关于y轴的对称点为P'(—a,b)3)关于直线x=m的对称点是P2m-a,b)4)关于直线y=〃的对称点是P'(a,2n-b)5)点P(a,b)关于直线y二兀的对称点为P'(b,a)Mg)6)点Pg关于直线y=-x的对称点为P-b-a)7)点P«b)关于某直线LAx^By+C=0的对称点P的坐标解法
4、设对称点为P(x,y),由中点坐标公式求得中点坐标为(竺竺,®)把中点坐标代入厶中得22到A•号+B•宁+C=0①;再由陆諾得匕時②'联立①、②可得到P'点坐标。(2)直线厶关于直线/的对称直线厶设直线/:Ax+By+C=O,则2关于x轴对称的直线是Ar+B(-y)+C=0关于y轴对称的直线是A(-x)+心+C=0关于y二％对称的直线是Bx+Ay+C=O关于y二-兀对称的直线是A(-y)+B(-x)+C=O1)当厶与/不相交时，则1{//1//12兀在厶上収一点M(x0,y0)求出它关于/的对称点AT的坐标。再利用Kl}=Kl2可求出厶的方程。2)当厶与/相交时，厶、
5、I、厶三线交于一点。解法(一)：先解厶与/组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线厶上。再在厶上找一点B,点3的对称点夕也在人上，由A、夕两点可求出直线厶的方程。解法(二)：在厶上任取一点戶(旺，必)，则P点关于直线/的对称点Q在直线/2±,再由PQ丄/,©q%又PQ的屮点在/上，由此解得召=/(兀y)j=g(x,y),把点3』)代入直线厶的方程中可求出厶的方程。例：求直线/,:2x-y+3=0关于直线/:x+y-l=O对称的直线&的方程解：设Mg)为所求直线A上任意一点，则其关于/对称的点MG，yJ在直线厶上.旺=l-y=1一兀Zz2L(_i)=_i(mm
6、'_l/JPk^.^-1)兰导+丄号一1=0(MMT的中在Z上)t2X
7、—+3=0r.2(1—y)_(1—兀)+3=0故所求直线方程为x-2y+4=0(1)曲线关于直线对称相关运用1,光线从点A(6,4)发出，与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射，求入射光线和反射广线所在的方程.析：由物理屮光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.2,己知点A(1,3)、B(5,2),在x轴上找一点P,使得PA+PB最小，则最小值为,Pi点的坐标为.丫
