高中数学第四章定积分41定积分的概念教材基础素材北师大版选修2-2

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1、§1定积分的概念我们已经学会了正方形、三角形、梯形等图形血积的计算，这些图形有一个共同的特征:每条边都是直线段•但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形，它们的面积怎么计算呢？高手支招1细品教材一、曲边梯形的面积1.曲边梯形:我们把直线x=a,x=b(a^b),y=O和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如图所示：2.曲边梯形面积的算法⑴分割t、1「b—a间:[a,a+:将1「b_a],[a+nnLa,b]2(b-a)n等分成n个小区]・・・[a+(—Q)J].第i个区间为n(2)过

2、剩估计值:对于曲边梯形，分别以这n个小区I'可中具有最大曲线值的端点所对应的曲线值和2二纟为边长作小矩形，这门个小矩形的面枳记作AShAS2,-,ASn,这n个小矩形的面n积之和记作S1=AS1+AS2+-+ASn二工AS,・/=1S]大于曲边梯形的面积S,我们称S]为s的过剩估计值.如图所示：(3)不足估计值:对于曲边梯形，分别以这n个小区间中具有小曲线值的端点所对应的曲线值和2二纟为边长作小矩形，这门个小矩形的面积记作AS1,AS2,...,ASn,这n个小矩形的面积之和记作S1=AS1+A

3、S2+…+aSn=AS■•/=1如图所示：S]小于曲边梯形的面积S,我们称S]为S的不足估计值.状元笔记当f(x)为增函数时，用第i个小区间左端点对应的函数值与Ax相乘求出的为不足近似值用右端点对应的函数值与Ax相乘求出的为过剩近似值.(2)估计值误差:记过剩估计值S】和不足估计值S】之间的差为AS,即AS二Sls】,无论用过剩估计值$或者不足估计值sM弋替曲边梯形的面积S,其估计值误差都不会大于AS.将S,b］分得越细，就会得到越精确的估计值，当分割的小区间的<度趋于0时，过剩估计值Si和不足

4、估计值S】都会趋于曲边梯形的面积S.状元笔记用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积:把区间g,b］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，在每个小曲边梯形上“以直代曲”，即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值•拆分得越细，近似程度就会越好.二、非匀速运动物体经过的路程状元笔记其解决的方法与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程

5、问题.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和的方法,可以求出它在aWtWb内位移s的过剩估计值和不足估计值及它们的差.三、定积分状元笔记定积分是一种“和式”的极限.在定积分的定义中，含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间［a,b］上，高为y=f(x)的曲边梯形的而积”等问题.1.定积分的概念一般地，给定一个在O,b］上的函数y二f(x),用分点a=Xo

6、b将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间［xfXi］上任取一点J(i二1,2,…,n),作和式nnh—fly=if(^)AX=y=iHf(j),当n-s时，上述和式无限接近于某个常数,这个常/=1/=1n数叫做函数f(x)在区问［a,b］上的定积分，记作j"f(x)dx,即Ja"f(x)dx二lim£a"T8n这里，f叫做积分号,a与b分别叫做积分的下限和积分的上限，区间［a,b］叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.1.定积分的儿何意义曲边梯形

7、的血积.一般情况下(如图),定积分J"f(X)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号.y+11'严)/+0bx1.定积分的性质定积分有如下性质：-fb性质1:ldx=b-a;性质2:j"kf(x)dx二kj"f(x)dx;性质3:b[f(x)±g(x)]dx=JZ?f(x)dx±fZ?g(x)dx;aJaJa性质4:bf(x)dx=af(x)dx.高手支招2基础整理通过本节的学习，应了解定积分的

8、概念,会用定积分求一些平面图形的面积，变力所做的功等问题，现将本部分的内容主要概括如下：曲边梯形的定义定积分的背景曲边梯形的面积曲边梯形面积的算法求曲边梯形面枳的步骤非匀速运动物体的路程定积分定义积分号定积分冇关定积分的几个概念积分的上限积分的下限被枳函数定积分的几何总义定积分的性质