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《高中数学第四章定积分41定积分的概念分析“求汽车行驶的路程”感悟定积分概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1分析“求汽车行驶的路程”感悟定积分概念的形成定积分概念的理解对人多数同学来说是比较抽象的.概念的形成不是以一段文字可以概括和说明的•而是要通过一种数学运算来体现定积分的内涵与意义•所以对这种运算如果不能有一种清晰的认识，就很难真正把握定积分的定义.下面我们就把这一运算过程通过“求汽车行驶的路程”详细地分解开，以助于同学们深刻理解其本质.一.提出问题汽车以速度u组匀速直线运动时，经过时间r所行驶的路程-^S=vt.如果汽车作变速直线运动，在时刻/的速度为v（r）=-r2+2（单位：km/h）,那么它在0单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？分析：与求曲边梯形而积类似，采取
2、“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题.把区间［0,1］分成斤个小区间，在每个小区间上,由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让〃趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值.（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）.解：1・分割在时间区间［0,1］上等间隔地插入川-1个点，将区间［0,1］等分成个小区间：记第，个区间为—n■-（心1,2,…丿）nii-1其长度==nnn0,丄12•••99nnn-n把汽车在
3、吋I'可段0,-nit—1—J上行驶的路程分別记作:n△S[,AS2,…，ASZ/显然，s=/=!(2)近似代替当斤很大，即&很小时，在区间上，可以认为函数v(r)=-r2+2的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点巴处的函数值n+2,从物理意义上看，即使汽车在时间段(212…丿)+2作匀△S,-AS；=v1-1、2+2丄+?(i=l,2,3…司nni-上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻一n速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积A5；近似的代替△S「即在局部范围内“以直代取”,则有:(3)求和由①，A5,-=工AS-=为/=!1=1/=
4、121]•一+2二
5、"12+22+•••+(*nnL1S_l)心-1)+2从而得到S的近似值n/b1、+2斤丿2nJf.-ll(11、+2.n)I2〃丿/_1(1>=lim1--1+2丿/?—><»[3(nJl(4)取极限sn=--an3(nJI2兀丿+2趋向于S,从即趙向于0时,而有：S=limSft-limV—•v
6、—"T8心8七“In思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线z=O,r=l,v=0和曲线v=-t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程S二limS”在数据上等于由直线/二0,f=1,“T8V=0和曲线V=—尸+2所围
7、成的曲边梯形的面积.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(/),那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在gWtWb内所作的位移S.二.实例展示例.弹簧在拉伸的过程中，力与仲长量成正比，即力F(x)=kx(k为常数，兀是仲长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所作的功.分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.解：将物体用常力F沿力的方向移动距离尢，则所作的功为W二F*・1.分割在区I'可［0,b］上等I'可隔地插入斤-1个点，将区间［0,1］等分成n个小区I'可:记第，个区间为^-^，―nn
8、(j=12…丿)其长度为：2=i・b(i-l)b_b——•nnnb把在分段0,-nb2bn，n•・，上所作的功分别记作:n[o上],~b2b•••99nn_n(2)近似代替有条件知:AW(=F——=I丿(I)方n(心12…丿)(3)求和(i—l)bb2（4）取极限kb2l-pn)〃T8W=limW=limVAW=lim—cogoo铝所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：—2
