《等差数列的前n项和》教案

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1、《等差数列的前〃项和》教案教学目标1.通过实例，探索等差数列的前〃项和公式，了解倒序相加法；2.掌握等差数列的前项和公式，并能用其解决一些简单问题；3.培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力.教学重、难点重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题.难点：等差数列前〃项和公式推导思路的获得.教学过程【预习提纲】1.高斯算法是运用了等差数列的一个什么性质规律？（等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和）我们这里用什么方法去求一般数列的前〃项和呢？（倒序相加法）2.设等差数列血｝的公差为d

2、,则Sn=d]+（q+d）+（6Z

3、+2d）+...+[q+（/?—l）d],①又Sn=an+a-〃）+（%-2〃）+…+[an-（n-l）d]②（①式倒序相加的和）由①+②，得2S”=（a】+a”）+（d]+）+（q+%J+...+（qVn二也I+an）.由此得到等差数列[an]的前n项和的公式S”二呦严）.（1）这种数列求和的方法称为“倒序相加法”.又等差数列的通项公式为①+（川-1）〃，将其代人公式（1）得到等差数列也”｝的前n项和的另一个公式S〃=M+"U）d.（2）23.等差数列的前项和公式（1）、（2）各有什么特点？今

4、后运用时如何恰当的选择？（两个公式都需要知道®和斤，而公式（1）还需己知陽，而公式（2）还需己知〃，运用时要根据己知条件选择用哪个公式•）【基础练习】1.在等差数列｛色｝中，已知务=-4,=-18,n=8,其前斤项和5?I=_88_.2.在等差数列｛色｝中，已知4=14.5,d=0.7,an=32,其前斤项和S.「=604.5.3.求集合M=｛nim=2n-LneN且m<60｝的元素个数，并求这些元素的和.（答案:元素个数是30,元素和为900.【典型例题】例12000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程

5、的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未來10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【审题要津】让学生读题、审题并找出有用的信息，构造等差数列模型：根据题意，从2001~2010年，该市每年投入的经费都比上一年增加50万元.所以，构成了一个等差数列｛色｝,写出首项和公差，用等差数列的前斤项和公式求解.解：根据

6、题意，从2001~201°年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列｛色｝,表示从2001年起各年投入的资金，其中aA-500,d=50.那么，到2010年（〃二10）,投入的资金总额为S=10x500+l0X（1°-1）x50=7250（万元）“2答：从2001〜2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.【方法总结】本题是应用题，解决的关键是建立数学模型，根据题意：”从2001〜2010年，每年投入的经费都比上一年增加50万元”.所以，可以构造一个等差数列，利用等差数列

7、的知识解决.例2已知一个等差数列｛匕｝前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前斤项和的公式吗？【审题要津】等差数列前项和公式就是一个关于⑷，n,色或⑦，刃，d的方程.若要确定其前斤项求和公式，则要确定e和d的关系式，从而求得.将已知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于再与d的二元一次方程，由此可以求得吗与d,从而得到所求前斤项和的公式.解：由题意知Sg=310,S2()=1220,n—1)将它们代入公式S”=W+d,,[10a+45d=310,得到1[20坷+190〃=1220.解这

8、个关于州与d的方程组，得到州二4,d=6,所以S=4斤+—x6=3/?2+77.“2另解：5«i+^xl0=3102得q+细=62；①S^+02()x20=1220202所以a{+6f20=122；②②-①，得10d=60,所以d=6,代入①得：吗=4,所以有Stl=同斤+刃；丨)〃=3n2+n.【方法总结】此例题目的是建立等差数列前〃项和与方程之间的联系，关键是根据已知条件恰当的选择公式.由已知的几个量，通过解方程组,得出其余的未知量.在等差数列前〃项和的两个公式以及通项公式屮涉及了五个量,分别是4,d,“，仏,S“，任知其三个

9、可以求另外两个.【课堂小结】教学等差数列前”项和公式：①等差数列前〃项和的定义:一般地，我们称坷+色+為+…+坷为数列仏}的前〃项和,用Sn表不，即=Q]+^2++…+%•n(n-)d~~2②等差数列前巾•项和公式：S”=呦皿或S”=叫