数学归纳法的教与学

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1、数学归纳法的教与学http://www.pep.com.cn/gzsx/gxrz/200910/120091002_604476.htm浙江嘉兴嘉善高级中学钱卫红关于数学归纳法，课标上如是说：教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.浙江省普通高屮新课程实验数学学科教学指导意见指出：让学生经历归纳、猜想、证明的数学探究过程.据此，开课教师关于教学目标的设计是：1•通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，在此基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤.2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简

2、单的恒等式.3.了解通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路.开课教师的设计既有知识性目标，又有过程性目标.笔者想要补充的是，在设计教学目标吋，是否思考一下这样一个问题：学数学归纳法应当给学生带来什么？设想一下，当一名学生走上工作岗位后，倘若他的职业不是数学，既不专业研究数学，也不是专业教数学，他的工作或生活屮会面临这样的任务吗一一用数学归纳法证明某个命题？他们为什么而学习数学归纳法？是否可以这样认为，学习数学归纳法的意义主要在于对学生一-般能力的提高,在于对学生整体发展的帮助.比如，尽管许多成人都不会遇到证明某个数学命题，但他一定会遇到“证明”这件事，证明自己的

3、观点是正确的，证明某个方案是可行的，证明某种看法是不对的等等.所以，学习的重心不应当是那些证明数学命题的技巧，而应当是证明的意识、基本过程和主要方法，能够有效地做这些事情就是学习证明给学生带来的最大收益.因此笔者建议，把教学目标修改为：1.借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，经历数学归纳法解题步骤的获得和用数学归纳法证明一些与自然数有关的简单的恒等式的过程，初步理解和掌握“归纳一一猜想一一证明”这一探索发现的思维方法.（突出学习与发现的结合）2.通过数学归纳法解题步骤的获得，教给学生看书阅读的学习方法.学会边阅读边思考，与同学合作交流，学会把书“由薄到厚”的读书方法：

4、看懂内容一一领悟精神一一提出疑问一一提出新的设想一一解决新的问题.（突岀教与学的融合，课内与课外的结合）建立在上述观点基础上，笔者给出以下的教学设计，供大家参考.一、置学生于猜想的发现情境，让学生进入“数学家”的角色问题1平面内有刃条直线，最多可以把平面分成几部分？（1）图形观察n=1Z(l)=2直线条数n12345•••10nf(/?)2471116•••9■9•M=2Z(2)Mm=3n=4Z(3)=7/(4)=11(2)列表猜想学生思维受阻吋，教师引导：如果我告诉你100条直线最多把平面分成几部分，你能知道101条直线最多把平血分成几部分吗?直线条数n12345•••

5、10n增加部分△/?12345•••9■9•f(〃)2471116•••9■9•猜想"1)=2,f(2)二2+2,/(3)=2+2+3,f(4)二2+2+3+4,f(5)二2+2+3+4+5,…，]+2^=亍+小f(刀)=2+2+3+4+…+/7=22.学生通过白己白主探索和与同伴的交流，发现了问题的规律，个个面带微笑，自我已体验到数学家的愉悦之感.二、有效激起学生的兴趣，调控学习氛围，让学生快乐自学正值学生沉浸在发现的乐趣中时，教师趁热打铁告诉学生：这是根据最初儿条所提供的规律归纳出的结论.问题2这个结论只是一种“猜想”，是不是一定正确呢？生：找到规律了，当然正确.师：

6、前儿天我们班学生体检的时候，我发现我们班学号1号到15号的同学视力都在5.1以下，我认为我们班的学生视力全在5.1以下.我归纳出来的结论正确吗？生：不正确，我双眼的视力都是5.4.师：也就是说我归纳出来的结论是不正确的.由此可见，仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论.问题3这种与自然数有关的结论能否通过一一验证来加以证明呢？生：不能.因为直线条数可能有100条，10000条，…师：今天我们就来研究与自然数有关的数学命题的证明问题.请同学们先自学教科书第92-93页数学归纳法的内容，结合看书，思考如下问题.(数学归纳法的引入水到

7、渠成)思考题：(1)数学归纳法有儿个步骤？每一个步骤说明什么问题？(2)为什么这些步骤缺一不可？(3)数学归纳法属于什么证明方法？(4)数学归纳法证明什么样类型的命题？魏书生老师说：教师不替学生说学生自己能说的话，不替学生做学生自己能做的事，学Ml归换证明*rJ••••“.祐令1严7应冲。6辽CD5ft-191・左边3右也」6帚SI■么.…•如gD■6v666(1046即当”等或包gCMtU雨⑴冋任何处KS1生能讲明口的知识尽可能让学生自己讲，学生伸手可及的果子,教师不要摘.教师要多为学生创设儿个“跳一跳，摘果子”的平台•三、