浅析不等式的证明方法

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1、浅析不等式的证明方法扌商要：不等式是两个数值或两个代数式或两个函数大小的比较。在数学中占有重要的地位。但证明有一定困难。本文就不等式归纳了以下几种证明方法。关键词：不等式比较综合分析放缩反证换元构造公式一、比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法。它常用的方法有两种：1、作差比较：欲证A>B(或A0(A-B<0)o2、作商比较：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0,只需证明->1；B若B二0,只需证明A>0；A若B〈0,只需证明-

2、l

3、ogfl(l-x)

4、2-Ilog“(l+x)

5、2=[log“(1一x)+log"(1-兀)][loga(1-x)-log“(1+x)]=logf/(l-x2)logfl

6、—1+xVO<1-X<1,Ov—vlAlogrt(l-x2)loga—>01+xl+xA

7、log/l-%)

8、>

9、logfl(l+x)

10、解法2：用作商比较法=卩Ogg(l-X)

11、=-l°gl+A(I—兀)=logg=Sgg7^4log“(l+X)l-x1-JC=l-log1+x(l-x2)TO<1-%<1,1+x>1,・・・一logg(l—/)>0・•・1-log1+Y（1-X2）>1

12、・•・Iloga（1—兀）

13、>I】Oga（1+兀）I二、综合法综合法是“由因导果”。即从已知条件出发，依据不等式性质函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导岀要证明的不等式。6(2A2，例：已知a、b、cw求证:一+—+—ha+b+cbca解：左式含有分母，右式为整式，故应设法化去左式的分母，考虑用综合法。2r~2•••a、b、ceR.—^b>2J—xb=2abVb同理:—+c>2Z?,—+6/>2cCCl三式相加有:b2c2+——+—ca+a+b+c»2(a+b+c)即*>a+b+c三、分析法分析法是“执果索因”。即从所求证的结论出发，步步推求使之

14、能成立的充分条件(或充要条件)，直至归结到已知条件或已知成立的结论为止。例：已知d、b、c均为正数，d+b+c=1,求证:需+丽+V?5徭解：欲证原不等式成立，即证+丽+Vc)2<3只需证明a+/?+c+2y[ah+2y[bc+2y[ca<3,即4cih+y[bc+4ca<1因为°、b、C•均为正数，所以滋S字，血S宁三式相加得V^+V^+V^<2(6Z+z?+c)=1,故原不等式成立。四、换元法换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证明。1125例：设无、yw且x+y=1,求证：(x+—)(j+—)>—

15、—xy4证明:令x=_+/,y=_—/(——

16、肯定原命题成立。例：设x、y、zw/?十，且sin?兀+sir)2y+sin2z=1,求证：x+y+z>*证明：假设兀+y+zS丄(1),则有0V无+yS丄一zv丄因为正弦函数在区间(0,-)上是增函数，2所以sin(x+y)

17、此，兀+y+z>丄一2七、构造法构造法是在不等式的证明中，根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、几何图形等，实现问题的转化，利用其性质，从而使不等式得到证明。例：已知0

18、A0+B0+C0+DO^AC+BD其中

19、A0

20、=佃+戸,IBO=JS-ir+FICO=7（^-l）2+0-l

21、）2D0=&2+@_l）2又：

22、AC

23、二

24、BD

25、二血・•・如+戾+血_1）2+戾*Ja2+（b_l）2+