专题四圆锥曲线的范围问题

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1、06高考复习圆锥曲线的范围问题〖考题特点〗圆锥曲线的范围问题是高考命题的热点，此类问题综合性强，体现解析几何与函数、不等式、方程、三角等知识交叉综合的特点，且确定参变量取值范围的不等量关系较为隐蔽。下面介绍几种常见的寻找或挖掘不等量关系的方法：〖典型问题分析〗问题引入：已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，如果曲线C上存在点P，使，求椭圆离心率e的变化范围解一：根据圆锥曲线的变化范围，建立含参数不等式：令Q(x0,y0)(y0≠0)……可得x0=∵

2、x0

3、＜a∴0≤＜a求得≤e＜1解二：选参数点利用弦函数有界性建立不等式，设由垂直关系建立e与sin2θ关系得sin2θ=-1

4、∴0＜-1≤1解三：利用圆锥曲线的定义与几何性质

5、PF1

6、=r1，

7、PF2

8、=r2r12+r22=4c2r1+r2=2ar1，r2是方程t2-2at+a2-c2=0两实根r1+r2=2ar1r2=2(a2-c2)∴Δ=4a2-8(a2-c2)≥0求得或：用基本不等式≥（）2构造不等关系。解三：利用曲线交点特征（方程组解有实数解）建立不等关系由x2+y2=4c2有实数解得(b2-a2)x2=a2b2-a2c2(a＞b)有实数解b2x2+a2y2=a2b2∴a2b2-a2c2≤0求得解四：几何法可知∠F1PF2φ为最大角φ且须有∠F1PF2=φ≥∴＞≥＞0∴e==sin≥sin=∴≤e＜1圆锥

9、曲线离心率e=是一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状和类型的变化，同时因它是圆锥曲线统一定义中的三要素（定点、定直线、定比）之一，因此圆锥曲线的某些性质及其变化可通过e的变化来遥控，从而使其成为以圆锥曲线为载体，集函数、方程、不等式于一体的问题。从此题的多向思考解答可以体会寻找不等关系的常见方法，在此还可以总结如下：（1）、运用题设中已有的不等关系构建含参变量的不等关系或函数关系（如05全国Ⅱ21题）（2）根据圆锥曲线的交点特征即方程有实数解建立不等式（如02全国21题及上例）。（从直线与圆锥曲线位置出发，利用一元二次方程实根存在条件如04全国Ⅰ23题）。（3）根据圆锥曲线的变化范围，

10、建立不等关系（如上例）（4）借助定义和几何直观挖掘不等关系。（上例）一、从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。【例1】(05全国卷III)设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0∴上述条件等价于∵∴上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。（Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程得为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的

11、中点的坐标为，则，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为【例2】已知椭圆的一个顶点为A（0，-1）焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+2=04/4的距离为3，若在y轴上截距为b的直线L与该椭圆交于不同两点M，N。当

12、AM

13、=

14、AN

15、时，试求b的取值范围。OAMNxy解：易得椭圆方程为，据条件知L的斜率存在，设其方程为y=kx+b代入椭圆方程消去y得：（1+3k2）x2+6bkx+3（b2-1）=0，①∵有两个交点，所以=12(3k2-b2+1)>0即3k2-b2+1>0　②设M(x1,y1),N(x2,y2)直线MN中点为P(x0,y0),所以x0=y0=kx0+b=,又

16、AM

17、=

18、AN

19、

20、,所以KAP=-,即3k2+1=2b将此式代入②得0

21、2）点Q(―2,0)，点R，S在抛物线上，且QR⊥RS，求

22、QS

23、的取值范围解：设R（）S（）由QR⊥RS知=―1+2=，―=有++16=0由Δ≥0，64。

24、QS

25、2=可得

26、QS

27、≥总结：依据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系构造含参数的函数关系式，将问题转化用函数的知识来解答相关的问题，如函数的值域、根的分布等问题。四、从题设中的不等量关系出发，借助于方程产生参变量的取值范围。【例6】双曲线的焦点距为2c，直