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《中考数学小压轴汇编初讲：第3讲相似三角形（2）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第3讲相似三角形（2）一、本讲概述上讲我们强化了利用A型图、X型图、K型图、麻花图等基本图形进行相似寻找，大家应该对图形结构有了深入的认识。这一讲我们将在以往基础上先对复杂图形中相似寻找进行更深入探索，然后再进行相似构造。相似构造，说穿了就是为更好解决问题，作辅助线，构造相似三角形。那如何才能简单、自然、快捷、准确地构造呢？那就要仔细分析题目特征，由特征引领我们前行。通常情况下,我们有两种思路：1、平行生相似；2、比例造相似。平行生相似，指的是通过作平行线，产生A型图、X型图，达到构造相似解决问题的目的。比例造相似，指的是根据题目中线段比例特征，进行相似构造。具体的构
2、造，往往根据角度、线段转化，作垂线、截取等，形式上常与K型图、麻花图联系紧密。二、典例分析例1.（2016四川绵阳9题）如图，AABC中，A3二AC=4,ZC=72°,D是的4中点，点E在AC上，DE丄ABf贝iJcosZA的值是（）c、34次血2【关键词】相似寻找.麻花图【分析】特征1：AB=AC.ZC=72°。有角度，图形中每个角度都能迅速求出来。特征2：An欲求cosZA的值。RtAADE中，cosZA=AE特征3：AB=AC=4,DE为AB中垂线。不妨设AE=x(x>0),则===4—i麻花图，易证MBC-ABCEoABBC4x————BCCEx4-x解之得
3、x=2a/5-2所以，cosZA二型二一=匹乜，选C。AE2V5-24例2、（2014哈尔滨20题）如图，在AABC中，4AB=5AC，A£>为AABC的角平分线，点E在8C的延长线上，EF丄AD于点F,点G在AF上，FG=FD,连接EG交AC1AC于点H,若点H是AC的屮点，则竺的值为oFD【关键词】相似寻找【分析】此题条件繁多。AC特征1:欲求竺的值。FD比例特征，有无所在三角形相似呢？没有。AGA<7AG转化后呢？——S竺都是等价的。分析这些线段所在三角形，看是否有可能FDGDAD相似？AG所在的三角形只有44GH。AD所在三角形有AADB与MDC。特征2：EF
4、丄AD,FG=FD。说明EDG为等腰△，两底角Z.EDG=ZEGD而ZEDG+ZADB=180°,ZEGD+ZAGH=180°故=所以，MGH-ADBAG_AH^D~~AB特征3：4AB=5AC,H是AC屮点。易求AH~BAG25!卩些聾FD3【点评】本题的相似寻找有难度，对大家提出了更高的综合要求。例3、（2015江苏盐城18题）设ABC的面枳为1,如图①将边BC、AC分别2等份,BE、、40相交于点OfAOB的面积为»如图②将边BC、AC分别3等份，BE“ADt相交于点O,MOB的面积记为S2；……，以此类推，则S”可表示为（用含斤的代数式表示，其屮斤为
5、正整数）。图①图②图③【关键词】相似构造、X型图An【分析】本题的关键，其实就是分析清楚而的值，自然想到构造相似解决。构造的相似三角形既要能涵盖条件，又要解决问题。所以我们想作平行线，平行生相似。那过哪个点作谁的平行线呢？具体没有定论，能有效整合资源就行。如图④，0、d分別是BC、AC的S+1）等分点。过A作AP//BC交延长线于点、P,产生X型图。AOPsAD,OB=>AO_AP~Dp~~BDxAPApAAEfs=>忑=反BD】_1AE]CD,CE}AP_n+1AP_7i+lBCn'BD、2n+1图④^AOB〃+l2〃+1171+1S^BC，而=S、bc=1]2
6、/2+1【点评】本题利用“平行生相似”，简捷、自然。例4.（2016山东淄博11题）如图1,直线厶〃厶〃厶，一等腰直角三角形ABC的三个距离为1，%与厶之间的距离为3。则丝的值为（BDA型图顶点久B、C分别在小1、厶上，ZACB=90。，AC交匚于点D。己知厶与厶之间的【关键词】相似构造、K型图、【分析】特征1：欲求耳的值。线段比例特征，自然让人想到寻找或构造相似三角形。BD带着美好的愿望，经过缜密侦查，结果发现寻找或构造难度都较大。继续分析题目特征。特征2：直线厶上面有直角，如果作垂线，可以产生K型图。由题意，BM=3,AG=1,AH=4。如图2,过B作BM丄厶于点
7、M,过A作AH丄厶于点H,交厶于点G。产生K型图，可以据此算岀相关线段。易证CMACAH,贝9MC=AH=4,CH=BM=3AC=^AH2^CH2=5AR现在的问题是怎样简单地求出竺？BD当然可以再用勾股圧理把所有线段硬算出来,但代数运算始终没能体现几何魅力，不免遗憾。我们看需二欝，虽然难以产生相似关系，但ABCD是很容易找到相似朋友的。易知ABCD-MGD-MWCo那太好了BCAC_4亦mAB42BC4a/2牡人所以，——==,选人。BDBD5【点评】比例造相似，舒服。就像下弹子跳棋，看似遥不可及，哪想一步就到位?例5、（2016成都23题）如图1
