全国初中数学竞赛辅导(初2)第16讲 相似三角形

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1、第十六讲相似三角形(二)　　上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用．　　例1如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．　　分析设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．　　证过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以∠2=∠3．　　从而∠1=∠3，AB=BE．显然△BDE∽△CDA，　　所以BE∶AC=BD∶DC，　　所以AB∶AC=BD∶DC．　　说明这个例题在解决相似三

2、角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．　　在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法．　　例2如图2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．　　分析利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB．　　证过B引BG∥AC交AE的延长线于G

3、，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAE．　　因为BG∥AC，所以∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，　　所以BA=BG．　　又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以∠ABF=∠HBF，　　从而AB∶BH=AF∶FH．　　又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，　　所以AB∶AC=AF∶FH．　　因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以　　AB∶AC=BE∶EC，　　所以AF∶FH=BE∶EC，　　即　　(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边

4、形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为AM∶MB=FM∶ME．　　在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以△MEF∽△MAB　　(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．)．所以∠ABM=∠FEM，　　所以EF∥AB．　　例3如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．　　　　　　　　　即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．　　注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造

5、一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．　　证延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．　　设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．　　由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，　　所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．　　从而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．　　又由作图AE=AC，AE=BD，　　所以BE=BD，　　△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，　　所以△A

6、BC∽△DAE，　　所以　　例4如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH.　　分析要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC应该相似．　　证在Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以∠PBC=∠PHB=90°，　　从而∠PBH=∠PCB．　　显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以　　　由已知，BP=BQ，BC=DC，所以　　因为∠ABC=∠BCD=90°，所以∠HBQ=∠HCD，　　所

7、以△HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．　　又因为∠BHQ＋∠QHC=90°，　　所以∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，　　即DH⊥HQ．　　例5如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：PB2＋QC2=PM2＋QM2．　　分析与证明若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．　　于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2，①　　等价于PB2-PA2=QA2-QC2．②　　因为M是BC中点，且MD∥AC，

8、ME∥AB，所以D，E分