一元二次函数辅导讲义

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1、一元二次函数解法讲义【知识梳理】1.定义：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c都是常数，ghO),那么y是兀的二次函数2.二次函数y=ax2-vbx+c(。工0)配方得：y=a(x-hf+k的形式，其中.b.4ac-b2h=,k=la4a3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①门的符号决定抛物线的开口方向：(1)当开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，b4ac—b，当x=-—貯值授小，最小值为2a4a(2)当«<0^,开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，当b4a

2、c—b，x=-—貯值授大，最大值为2a4a(3)问相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作X=A.特别地，y轴记作直线^=04.顶点决定抛物线的位置:儿个不同的二次函数，如果二次项系数仝相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：y=ax2bx+c=a(x+—)24-—~,“2a4ah4cic—b，b•••顶点是(-—/)，对称轴是直线x=-—.2ci4a2a(2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，得到

3、顶点为(h,k),对称轴是直线^=*.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂宜平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点•用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.1.抛物线y=ax2+bx+c中,a,b,c的作用(1)怎决定开口方向及开口大小，这Ljy=ax2中的金完全一样.(2)i和丈共同决定抛物线对称轴的位置：山于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线兀=-舟,故：©*=°时，对称轴为丁轴②2〉0(即二、2同号)吋，对称轴在・丁轴左侧a①-<0(即定

4、、上异号)时，对称轴在y轴右侧.a(3)-的大小决定抛物线y=ax2+Z?x+c与y轴交点的位置.当x=0吋，y=cf/.抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,)：①抛物线经过原点；②c>0>与匸轴交于正半轴；③c

5、点式：已知图像与工轴的交点坐标兀］，勺，通常选用交点式：y=q(兀一兀1)(兀一兀2)・&直线与抛物线的交点(1)•：•轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c)・(2)与轴平行的直线»=*与抛物线y=o?+hx+。有且只有一个交点(土占+时点)•(3)抛物线与厂轴的交点:二次函数y=ax1+bx+c的图像与万轴的两个交点的横坐标x1?x2,是对应一元二次方程"+*<+c=0的两个实数根.抛物线与工轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判別式判定：①有两个交点=A>0=抛物线与工轴相交；②有一个交点(顶点在工轴上)=A=°二

6、抛物线与工轴相切；③没冇交点=AuO=抛物线与巴轴相离.(4)平行于y轴的直线与抛物线的交点：同(3)一样口J能冇0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为匚则横坐标是«a4-Ax+c=*的两个实数根.(1)一次函数y=kx+n(k工0)的图像/与二次函数y=ax2+hx+c(°工0)的图像G的交点，由方程组■jr=ibr+ji的解的数Fl来确定:①方程组有两组不同的解时=/与匸有两个交点;①方程组只有一组解吋=/与三只有一个交点；③方程组无解吋=/与三没有交点.（6）抛物线与工轴两交点之间的距离:若

7、抛物线y=6/x2+bx+c与工轴两交点为人（山,0）,3（兀2,0）,bc由于兀［，兀2是方程Q*+bx+c=0的两个根,故兀］+x2=一_，兀1•x2=一-一aak-瑞■抵-£）'-抵-站*-侶斗--手*鲁经典例题:【例1】二次函数y=ax1+bx+c的图像如图所示，那么abc、b2-4ac、2c/+b、4q—2b+c这四个代数式中，值为正的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个解析：Tx=2<12a2a+h>0答案：・A评注：由抛物线开口方向判定d的符号，由对称轴的位置判定〃的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与

8、兀轴的交点个数判定h2-4ac的符号，若兀轴标出了1和一1,则结合函数值可判定2ci+b、d+b+c、a-b-be的符号。【例2】已知tz+/?+c=0,dHO,把抛物线y=ax2+bx--c向下平移1个单位，再向左平