高中数学不等式知识归纳及常考题型

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1、高中数学复习•…不等式一、不等式的性质及均值不等式1.实数的三岐性：设R,那么d>bu>d-b〉O；a=ba-b=Q；aa-b<0；2.不等式的性质：⑴对称性>b0bb,b>c=>a>c;(3)加法原理:a>b^>a±c>b±c(4)乘法原理a>h,cac>be,—>—a>h,c<0ac"=>a+c>b+d，(减法可以转化为加法來进行)[c>da>b-ddci—c>b—d;[cb>0,c>d>0nac>bd;(除法可转化为乘法来进行)(7)乘方

2、原理:a>b>0=>a">bn(neN,n>1);(8)开方原理>ft>0=>^[a>N,n>1);(9)三角不等式

3、

4、a

5、-

6、b

7、U0±b

8、s

9、a

10、+

11、b

12、，(其中左等号成立的充要条件是"50;右等号成立的充要条件是^>0;3.均值不等式2,2(1)"+">ab(a,beR当且仅当a=b时”才成立)2⑵纟卫n亦(a>0">o当且仅当a二b时成立)2(应用于求最值要注意三个条件:一正，二定，三相等缺一不可.(3)均值不等式的拓展：-^―0">0)j_+£2V2ab4•典型例题例1.已知a>b>0,cvdv0求证:纟v°v0;clc例2.

13、若-0且"1,试比较/(劝和竝无)的大小.例4.设x>0,y>0,兀+y=1求丄+丄的最小值.*y例6.已矢口a>0,b>O,a+b=1求证：(1+—)(1+丄)>9；ab5.巩固训练A组1.下列推理正确的是()(A)ac>bea>b(B)a2>b2=>a>b(C)丄>丄a«ac(B)c(b一a)v0(C)cb2

14、c(a一c)>03.若兀w(訂,l),a=x,b=21nx,c=In3兀则()(A)«1,贝IJF+4+_的最小值为()jr-1(D)b0,y>0，且一+—=1,贝I」兀+y的最小值为;8.某公司一年购买某种货物400吨，每

15、次都购买x吨,运费为4万元/次.一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则兀二吨.B组1.已矢口0vavbv1,贝Ulog]b,ah,logha的大小关系是;a2已知点(x,y)在直线兀+2y=1上，则2V+4V的最小值是；3.如果土+纟>2,则ab>0且;ba1.已知不等式a+y)(l+-)>9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值兀y为;1.设数列仏｝中,〜=门2)=2"若®比较/(咛')与/*)+/(心的大小;二•不等式的证明及含绝对值的不等式1不等式的证明是不等式的难点Z—,证明的主要方法有:比较法，分析法和综合法.

16、(1)比较法:是证明不等式的最基本的方法，可分为作差比较法，作商比较法⑵分析法:指从证明的不等式出发r执果索因3从结论出发找命题成立的充分条件，育•到找到明显成立的不等式或己经证明的不等式为止,这种方法叫分析法.(3)综合法:从一个正确的不等式出发，根据不等式的性质及均值不等式对该不等式变形，直到得出所求证的不等式为止，即''执因索果”注:除了以上方法外还有反证法,放缩法，数学归纳法，换元法，函数法与数形结合法等2.含绝对值的不等式a(a>0)(1)实数的绝对值的定义p/

17、=<0(d=0)；-a(a<0)(2)对a,beR^ab=Ub,f=其@h0)

18、bb⑶对xwR,ciw疋有卜

19、vaox，doX?>a2ox>q或r<-a(4)含绝对值的不等式的定理的推广%+°2+•••+%§G]+勺+…+an(HGN*)3.典型例题例1.已知R卜，且a+b=l,求证:处？+b)“>(ax+by)2例2.已知实数a,b,m,n其中m与n为正数—+—>⑺+”);mnm+n例3.已知a,b,cwR，求证:Jd，+/??+y］h2+c2+7c2+a2>4^(ci+b+c);例4:若p3+q3=2，求证:p+q52例5•证明:》+£+•••+*<］；例6(1)己知问<1,

20、/?

21、<1求证;

22、—

23、>1

24、;(1)求实数久的取值范围，使不等式匕尝>1对满足问

25、b

26、<