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1、多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现摘要：求解多目标线性规划的基本思想大都是将多目标问题转化为单目标规划，本文介绍了理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法⑴，然后给出多目标线性规划的模糊数学解法⑵，最后对每种解法给出例子，并用Matlab软件加以实现。关键词：多目标线性规划Matlab模糊数学一.引言多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性,要求使所有目标均达到最优解是不可能的，因此多目标规划问题往往只是求其有效解（非劣解）。目前求解多目标线性规划问题有效解的方法,有理想点法、线性加权和法、最大最小法、冃标规划法
2、，然而这些方法对多冃标偏好信息的确定、处理等方面的研究工作较少，本文也给出多目标线性规划的模糊数学解法。二.多目标线性规划模型多目标线性规划有看两个和两个以上的目标函数，且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为：max-Z]=5兀]+cI2x2+Z-y=+C22X2+(1)约束条件为:lZ『=C"]+Cr2兀2+$內+如兀2++。2届＜〃2陽声+佥2冯++%£仏旺,兀2，(2)若（1）式中只有一个z^c^+c^-h+5百,则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:A=(勺)皿“，。=2几，b=(bvb2,,阳,x={xvx2,9xn)T,Z=（ZPZ2,，乙）〔
3、则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:maxZ=CxAx0三.MATLAB优化工具箱常用函数⑶在MATLAB软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog>求有约束非线性函数的fmincon求最大最小化问题的fminimax求多目标达到问题的fgoalattain等，它们的调用形式分别为:®.[x,fvalJ=linprog(f,A,b,Aeq,beqJb,ub)『为目标函数系数,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：单纯形法的改
4、进方法投影法②.[x,fval]=fmincon(fun,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数,xO为初值,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：基于K・T(Kuhn-Tucker)方程解的方法。③.fx,fvall=fminimax(fun,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数,xO为初值,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：序列二次规划法。
5、@.[x,fval]=fgoalattain(fun,xO,goal,weight,A,b,Aeq,beqJb,ub)fun为目标函数的M函数，xO为初值,goal变量为目标函数希望达到的向量值，wight参数指定目标函数间的权重,A,b为不等式约束的系数,Aeq,beq为等式约束系数,lb,ub为x的下限和上限,fval求解的x所对应的值。算法原理：目标达到法。四.多目标线性规划的求解方法及MATLAB实现4.1理想点法在(3)中，先求解厂个单目标问题：minZ")J=l,2,厂，设其最优值为Z；,称Z*=(Z；,Z；,Z；)为值域屮的一个理想点，因为一般很难达到。于
6、是，在期望的某种度量Z下，寻求距离Z*最近的Z作为近似值。一种最直接的方法是最短距离理想点法，构造评价函数然后极小化（p[Z（x）],即求解0（z）=刃乙-Z；F，min(p[Z(x)]=xeD并将它的最优解F作为（3）在这种意义下的“最优解”。例1：利用理想点法求解max(x)=一3兀]+2x2maxf2(x)=4^+3x2s.t+3p<182x,+x2<10x[,x2>0解：先分别对单目标求解：①求解./；(X)最优解的MATLAB程序为»f=[3；-2];A=[2,3；2,l];b=[18;10];lb=[0;0];»[x,fval]=linprog(f,A,b,
7、[],[],lb)结果输出为：x=0.00006.0000fval=-12.0000即最优解为12.②求解力(兀)最优解的MATLAB程序为»f=[-4;-3];A=[2,3；2,1J;b=[18;10];lb=[0;0];»[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],1b)结果输出为：x=3.00004.0000fval=-24.0000即最优解为24.于是得到理想点:(12,24).然后求如下模型的最优解min(p[fM]=7[/；(x)-12]2+[./2(x)-24]2s.t2x}+3x2<182x,+x2<10xp
