济源一中高一期末复习值域专题

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1、函数値壌的来济1、常见函数的值域：(1)>—次函数y=ax+b(a#0)的值域为R。(2)、二次函数y=ax2+bx+c(aH0),当a>0时值域为[――,+°°);^a当亦0时值域为(-co,纟口1]。4a(3)、指数函数y=/(d>0,且心1)的值域为(0,2)。(4)、对数函数y=logQX(aX)且aHl)的值域为R。(5)、反比例函数〉，=士伙工0)的值域为｛x

2、x#0,fixe/?｝。(6)、分式函数尸竺岂的值域为｛xx^a,且x*｝。x-c2基本方法与技巧1)配方法：针对二次函数型F(x)=af2(x)+bf(x)+ct其关键是配成完全平方式。例、求函数y=x2-2x-5

3、,xg[-1,2]的值域。解：将两数配方得：y=(x-l)2+4,TXW[—1,2],由二次两数的性质可知：当x=l时，ymin=4；当x=—1,时ymax=8。故函数的值域是：[4,8]。练习、求函数y=—F+4X+2(XG[—1,1])的值域。解：y——x^+4x+2=—(x—2)~+6,因为xg[—1,1]f所以x—2e[-3,-1],所以1W(jv—2)~S9所以一3<-(-^-2)2+6<5,即一3

4、「•l/xHO显然函数的值域是：(s0)u2练习.求函数y二一+1的值域。解：它的图像为右图，所以值域为(-ooj)u(l,+oo)3)分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法)1—Y【例】求函数y=丄丄的值域。2x+517l-x--(2x+5)+-解：因为y==2x+52x+5+2x+57,所以二一工0,所以2x+51-r1所以函数歹=的值域为｛y

5、yH-一｝2x+52练习、尸乞±1x-3解：・・・尸匕=2(_3)+7=2+x—3x~3x~3・・・函数的值域为(-00,2)U(2,+00)4)换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，

6、7由——H0,得丁工2兀一3其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法屮儿种故主要方法之一，在求函数的值域屮同样发挥作用。例：求函数y=x+』X_的值域。2解：令x-i=t,(t^o)则x二r+i2]2g十冲+尹厂又山，由二次函数的性质可知当I二0时,ymil=1,当t—0时，y故函数的值域为[1,+8)。练习：y=x-yjl-2x解：令Vl-2x=r,则co且兀=上一2y=-l（r+l）2+l

7、]5)有理化(包括分子有理化和分母有理化两种，有理化后利用函数单调性)例：求函数尸丿兀+1-Jx—l的值域。解：原函数可化为:令y,

8、=V7+T,y2=显然X，〉‘2在[1，+8)上为无上界的增函数，所以y=yl+y2在[1,+8)上也为无上界的增函数。所以当x=1时，y=必+〉‘2有最小值V?‘原函数有最人值了亍=5/2"o显然y>0,故原函数的值域为(0,V2]o6)反接法(变量有明确范围)兀2—1例：求函数y二罕一1的值域。兀Si解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为/?,对函数进行变形可得(y_l)兀2=_(y+l),所以丁工1所以方程宀-牴要在定义域R上有解,必须一貴“，所以心<】,所以函数y=勺值域为｛｝；

9、-l1)的值域。解：(1)若

10、xSl,则x-l<0,0<3xUl,则l-x<0,0<3,x

11、-2

12、（F-4x+5）的值域。2解：函数的定义域为R，设u=x2-4x+5=（x-2）2+1则>'=log1u当xWR时，uW2[1,+°°），又Vy=logjw是减函数，・•・yWlog】1=0二函数的值域是0]222练习：求函数y=2口的值域。2解：本函数定义域为{XXH3},即——€{XX^0}x-32即方程=

13、lOg2y在定义域上要有解,log2y^0x-32所以函数y=2口的值域为（0,1）U（1,+呵9）、判别式法例:兀2—兀+3尸厂7T变形得(y-l)x2-(y-l)x+y-3=0当y=l时，此方程无解当歼1时，VxeRAA=(y-l)2—4(y-l)(y-3)>0,解得1今三_又Vy*1,/.1