文科高三数学第10讲：单调性与参数的关系（学生版）

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1、第力讲单调档鸟泰叙的采系作业完成情汨知识梳理）一、定理设函数y=f（x）在［g,刃上连续，在（°,b）内可导.（1）如果在（a,历内广（x）＞0,那么函数j=/（x）在0,切上单调增加；（2）如果在（a,b）内广（工）＜0,那么函数j=/（x）在［a,b］上单调减少.【解读】设函数在某区间内可导，广（兀）20=/（兀）在该区间上单调递增；在该区间上单调递减.反Z,若/（兀）在某个区间上单调递增，则在该区间上有广（20恒成立（但不恒等于0）；若/（力在某个区间上单调递减，则在该区间上有fU）＜0恒成立（但不恒等于0）.二、求可导函数

2、单调区间的一般步骤和方法（1）确定函数的/（兀）的定义区I'可；（2）求广（x）,令广（劝=0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；（3）把函数/⑴的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数/（X）的定义区间分成若干个小区间；（4）确定广（朗在各个区间内的符号，根据广（兀）的符号判定函数f（x）在每个相应小区间内的增减性.三、分离参数（变量）法常用于给定某个固定的单调增减区间使使用，主要解决方案就是把方程或不等式看做是关于某个参数的方程或不等式，这样可以得到一个不带参数的代数式，可以很方便求

3、此代数式的取值范围。教学重•难点）1•求单调区间的标准步骤2.含参数问题中的恒成立及分类讨论方法3.利用函数单调性解决问【例1】函数/（x）=l+x-sinx在（0,2龙）上是（）b增函数B.减函数C.在（0,龙）上增，在（龙,2疗）上减D.在（0,龙）上减，在（龙,2広）上增解析：求导可知：/（x）=l-cosx,因为cos^f(b)B.f(a)=f(b)C./(a)

4、(b)D./⑷•/(/?)〉1解析：求导可知:fx）=匕竺，令/©）=0可得lnx=l,即兀=已所以函数在（0,幺）上单调递增,在（匕+8）上单调递减，又因为ef（b）答案：A【例3】若函数/（x）=x3+x2+7/lv+1是/?上的单调递增函数，则m的取值范围是解析：求导可知：/,（x）=3x2+2x+m,因为函数在R上恒增，所以说明广（兀）的值大于等于0恒成立，所以只需要A=4-12/t?<0即m>3答案：加【例4】若/(尢)二-异+blnx在(0,+8)上是减函数，则b的取值范围是()A.[0,

5、4-oo)B.(0,+oo)C.(-8,-0]D.(-<»,0)b解析：求导可知：/©)=—兀+—，由于函数在(0,+oo)上是减函数，所以说明fx)<0在区间(0,+呵上恒成立，即b

6、-J—fx)=>00时，令@-1)(—1)=0,解得“丄或“1.xa(i)当丄>1即0VQV1时，aax2-(a+l)x+1八“r少小由>0,及兀>0得ax2-(6z+l)x+l>0,x解得Ovxvl,或兀〉一；a(ii)当丄=1即g=1时，a因为x>0,fx)=-一2x+1="°n0恒成立.XXt1.t.6L「一(Q+1)X+1°(iii)当一vl即a>l时，由——-——>0，及x>0得处2_(。+1)尤+1>0,ax解得Ovxv丄，或x>｝；a答案：当Q=O时，函数/(x)的递增区间是(0,1)；当0

7、<1时,函数/(x)的递增区间是(0,1),(-,+8)；当a=l时，函数/(兀)的递增区间是(0,+oo);当Q>1时，函数/(X)的递增区间是(0,-),(1,4-00).a【例6】已知函数/(%)=-%5-ax14-bx.R)若b=a+2,且/(x)在区间(0,1)上单调递增，求实数Q的取值范围.解析：此题属于求导之后不能因式分解求极值点的题目，所以通常采用利用对称轴及图像的特性解决问题当△>(),即a>2或qv—1时，因为广(兀)二兀2一2妙+。+2的对称轴方程为x=a要使函数/(Q在区间(0,1)上单调递增,Jo<-1［

8、a>2Bt/*(o)>o或［r(i)no解得-2x的单调递增区间是()A.(-00,2)B.(0,3)C.(1,4)