lattice+boltzmann方法及其在枝晶生长模拟中的应用

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1、LatticeBoltzmann方法及其在枝晶生长模拟中的应用苏敏孙东科朱鸣芳东南大学材料科学与工程学院摘要：本文介绍了LatticeBoltzmann方法（LBM）的基本原理，模拟流场和浓度场的LBM控制方程，讨论了不同情况下边界条件的处理方法。将LBM和一个改进cellularautomaton(MCA)模型相耦合，模拟了合金中单枝晶在纯扩散和存在对流的两种条件下的生长行为。结果表明在纯扩散条件下，枝晶呈现对称生长形貌。但存在对流时，枝晶的生长在上游方向得到促进，而在下游方向受到抑制，形成了非对称的枝晶生长形貌。关键词：LatticeBoltzmann方法；流场；浓度场；边界

2、条件；凝固；枝晶生长LatticeBoltzmann方法(LBM)是上世纪80年代中期提出研究流体流动的一种新的数值计算方法，[1~4]其基本原理来源于格子气自动机方法(Latticegasautomata)。LBM不仅适合于大规模的并行计算，而且可以处理任意复杂的边界，其计算速度同空间复杂程度无关。由于LBM具有上述优点，在近20年内得到了迅速发展，现已成功地应用于流体力学诸多方面的数值计算，如湍流、多相流、多孔[1~7]介质流、空气动力学、磁流体力学、燃烧问题以及一些化学反应和具有复杂边界的流动等。近年来LBM在凝固过程数值模拟领域如对流作用下的枝晶生长、金属熔化和泡沫金属成

3、型过程等方面也[1]得到了初步应用，显示出很好的应用潜力。1LatticeBoltzmann方法模型1.1计算流场的LBM模型和控制方程LBM用f(x,t)表示t时刻在位置x方向为i(具有速度e)的粒子分布函数。宏观密度ρ，动量iiρu可用如下式子表示：ρ=f(x,t)（1）∑iρu=ef(x,t)（2）∑ii这样分布函数就满足方程：f(x+e∆t,t+∆t)−f(x,t)=∆tΩ（3）iiii式中，Ω为碰撞项。式（3）即为LatticeBoltzmann方程。陈十一等人基于单一松弛时间模型对碰i[3,7]撞函数进行简化：1eqΩ=−(f(x,t)−f(x,t))（4）iiiτ-

4、--------------------------------------------------------------基金项目:国家自然科学基金资助项目(50371015)第一作者简介：苏敏，女，1979年出生，硕士研究生，东南大学材料科学与工程学院，南京(210096)通讯作者：朱鸣芳，教授，东南大学材料科学与工程学院，Email:zhumf@seu.edu.cn.110eqeq式中，τ为松弛时间，用来控制f(x,t)逼近f(x,t)的速率；f(x,t)为局部平衡分布函数。粒iii子的碰撞过程满足质量守恒、动量守恒，于是LatticeBoltzmann方程可写成如下形式：

5、∆teqf(x+e∆t,t+∆t)=f(x,t)−(f(x,t)−f(x,t))（5）iiiiiτ[2]LBM建立模型的核心问题就是根据不同的网格来确定与之相对应的平衡分布函数。LBM的模型有D1Q3,D2Q7,D2Q9,D3Q15,D3Q18等（其中D指维数，Q指粒子运动方向的总和）。图1为常用的方格子的D2Q9模型。[17]图1D2Q9模型D2Q9模型的平衡分布函数为：eq923f(x,t)=ρω1+3(e⋅u)+(e⋅u)−u⋅u（6）iiii22式中，ω为权重系数。式（6）中当i=0时ω=4/9；当i=1,2,3,4时ω=1/9；当i=5,6,7,8时ω=1/

6、36。iiii图2为三维计算时常用的D3Q15模型。平衡分布函数与式（6）相同，其中当i=0时ω=2/9；当ii=1,2,3,4,5,6时ω=1/9；当i=7,8,…,14时ω=1/72。u表示在t时刻位置x的宏观速度。同时还可以ii得到运动粘性系数υ与松弛时间τ有如下关系：(2τ−1)υ=（7）6111[2]图2D3Q15模型从上述LBM模型介绍可以看出，LBM即不同于宏观的流体力学计算模型也不同于微观的格子[1]气自动机方法(Latticegasautomata)，它被认为是一个介观尺度上的计算方法。与基于连续介质理论基础上的经典流体力学NavierStokes(N-S)方程

7、不同，LBM的控制方程是建立在基于介观尺度上的统计力学的Boltzmann方程。LBM的演进过程主要分两个步骤：（a）迁移，粒子在一个时间步长内从一个节点运动到它最邻近的节点上；（b）碰撞，在一个节点上与从邻近的节点迁移过来的粒子发生碰撞，根据质量、动量和能量守恒规则改变粒子的速度，然后又以改变后的速度继续进行迁移。这两个步骤交替循环，直到流场收敛。但是LBM和N-S方法也有很紧密的联系，因为它们的连续形式都满足相同的宏观控制方程。LBM是用简单的局域作用规则来表现整个流场的复杂