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《工程数学(本)第2章矩阵学习辅导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、工程数学(本)复习辅导顾静相第2章：矩阵学习要点：矩阵的概念及运算，矩阵行列式的定义及计算方法，特殊矩阵与逆矩阵，初等行变换,矩阵的秩.本章重点：矩阵的运算；矩阵的初等行变换；逆矩阵的求法.复习要求：1.了解矩阵的概念，熟练常握矩阵的运算.矩阵的运算满足以下性质A+B=B+A,(AB)C=A(BC),(A+B)C=AC+BC,⑷'=A,(M)/=kA',(A+B)+C=A+(B+C)A(AB)=(AA)B=A(AB)C(A+B)=G4+CB(A+砂=4+F(AB),=B,Af2.了解矩阵行列式的概念，掌握方阵乘积行列式定理.A,B是同阶方阵，则有:AB=A^B・若A是
2、兀阶行列式，R为常数,则有：
3、M
4、=r
5、A
6、・3.了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质.4.理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件.若A为料阶方阵，则下列结论等价A可逆o
7、A
8、h0oA满秩o存在比阶方阵B使得初=BA=I5.熟练学握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程.用初等行变换法求逆矩阵：(A〃)初筹行变换用伴随矩阵法求逆矩阵：A'1=(其中是A的伴随矩阵)可逆矩阵具有以下性质：(ABy}=BlA-(kA)-]=丄人"，(理)"=(A~]yk6.了解矩阵秩的概念，会
9、求矩阵的秩.将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩.例题解析：例1填空题(1)设Afi,C,D均为n阶矩阵，其中B,C可逆，则矩阵方程A+BXC=D的解X=.ab(2)设二阶矩阵4=,其伴随矩阵・cd(3)设A,B均为4阶矩阵，且制=3,罔=一2,卜(40)2=.(4)若A为4x3矩阵，B为2x4矩阵，C为4x2矩阵，则A'BC为矩阵.解：(1)因为矩阵5C可逆，即存在，且由A+BXC=D,得BXC=D-A在上式等号两边同时左乘3"和右乘C1,得X=正确答案：B'^D-AyC1(2)因为=d,An=-c,=-h,=ad-b~正确答案:ca-b(3)
10、—(A'矿Y=(-l)4x
11、ArB_I=(国即尸冷9正确答案：—4所以AfBfC为3x4矩阵.(4)因为A'为3x4矩阵，B，为4x2矩阵,得A'B'为3x2矩阵,又因为C'为2x4矩阵，正确答案：3x4,例2单项选择题(1)由"362「819_5415030-622649-30得到的矩阵屮的元素如2B.12；).A.53；「3-1(2)_47=()._7-5__-75_■7-4~-74~A.;B.；C.;D.-434-3_-53_5-3C.—26；D.155则条件(A，=A"；(3)若A是对称矩阵，A.A-1=A；B.(4)设A,B均为z?阶方阵，则等式A.
12、人+3
13、=制+
14、
15、科;B.C.(AB)f=AfBf；解：(1)因为D.)成立.C.Ar=A；)成立.D.AA'(AB=BAa32二左矩阵第3行的元素与右矩阵第2列相应元素的乘积之和=0x1+(-6)x0+2x6=12正确答案：B34(2)因为■3-1&5■7-5__47-43_■■"35'-11=-X■7-5'_7-5'47_1-43_-43_所以A正确答案:（3）市对称矩阵的定义可知，止确答案：C（4）因为正确答案：B1-32例3设矩阵A-1=-301-32解因为［A'1/]=-30111-1_1-32100_->0_（731004-3-101j0-1-2-30-111100134_113
16、'所以A=23734911-1例4设矩阵A,B满足矩阵方程AX=B,1000100011-32100_0—-111I204-3-101-6_「100113_20102379001349求矩阵A.2「30_,B=002,求X.解法一：先求矩阵A的逆矩阵.因为_1210__1210__100-「-10010211->_°1X其屮0-1〔％%■0-I-「30__0-2XX.■02_=且X=A“B=解法二：因为［AB]0-2所以X=玄11-1-21-315-4，试求解：因为[AI]=所以04-1A~XB=1-31-140-11113-104-11-111-110041-10设A,B是
17、〃阶可逆矩阵，试证：(A'BT)T=B(AT)'・例6证明：显然AfB~｝是可逆矩阵，由矩阵的运算性质可知(/VB")']=)'=)'=Ar(A~l)'=(A~[A),=I,=I由此可知(A'BT)T证毕.例7设A,B是〃阶矩阵，B可逆，且AB=0,试证：A=0.证明：在AB=0的两端右乘B-,得ABB1=0B"上式左端为ABB-1=AI=A右端为0B"=0故有证毕.例8设A,B是〃阶对称矩阵，试证：A+B也是对称矩阵.证明：A,3是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知(A+B)'二A'+F已知A.B是对称矩
