重庆理工大学2016年研究生入学考试真题高等代数

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1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数学与统计学院学科、专业名称：数学、统计学考试科目(代码)：高等代数（817）A(试题共4页)注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一．选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内。）1.设，是数域上的多项式，且，则下列命题正确的是（）.(A)(B)(C)(D)2.设是阶方阵，则必有（）.(A)(B)(C)(D)3.设是一个矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线

2、性方程组，那么（）.(A)若有解，则仅有零解；(B)若有非零解，则有解；(C)若仅有零解，则有唯一解；(D)若有无穷多组解，则有非零解.4.在标准欧式空间中，与矩阵的每一个行向量都正交的向量的全体所构成的的子空间的维数为（）.(A)(B)(C)(D)重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第1页5.若实二次型是正定的，则的取值范围为（）.(A)(B)(C)(D)二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）1.已知是实系数多项式的一个复数根，则必有另一个复数根______________.2.设是阶矩阵的伴随矩阵，则________________.3.线性方程组有唯一解，则_______

3、____________.4．已知阶矩阵的全部特征值为，则矩阵的行列式___________________.5.已知实数域上的三元二次型的矩阵有特征值，则的典范形式为_________________.三．（10分）给定多项式，（1）求的有理根；（2）在有理数域上将分解为不可约多项式的乘积.四．（10分）设分块矩阵，其中，为方阵，（1）求证;重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第2页（2）若求.五．（15分）给定线性方程组（1）取何值时，方程组有唯一解、没有解、有无穷多组解？（2）在方程组有无穷多组解时，写出其结构式通解.六．（15分）给定三阶方阵，已知，且其伴随矩阵（1）确定的值；（2

4、）求.七．（16分）设是数域上所有4维列向量构成的向量空间，给定矩阵，定义到的映射，，。（1）证明：是的一个线性变换；（2）求的核的维数。重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第3页八．（18分）给定数域上所有3维列向量构成的向量空间，对任意，定义的线性变换:.（1）求出在基，，下的矩阵；（2）求出的特征值和特征向量；（3）判定能否相似对角化九．（16分）设是欧式空间的一个规范正交基，,，.子空间（1）求的维数；（2）求的一个规范正交基；（3）求在中的正投影。十．（20分）已知实二次型（），的矩阵有一个特征值为.（1）求的矩阵的所有特征值，并确定的值；（2）应用变量的正交变换将已知二次型化为

5、标准形，并写出所用的正交变换；（3）指出表示何种二次曲面。重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第4页