重庆理工大学研究生入学考试专业课真题2014高等代数

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1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数学与统计学院学科、专业名称：数学、统计学考试科目（代码）：高等代数（814）A卷（试题共4页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、填空题（每空3分，共18分）1.若多项式有重根，则。2.设行列式，则，其中、分别表示元素的余子式和代数余子式。3.线性方程组的基础解系由个解向量组成。4.设线性变换关于3维空间的基的矩阵为，向量，则关于的坐标为。5.设为4阶方阵且，则。6.若矩阵的全部特征值为、1、2

2、，则全部特征值为。二、单项选择题（每题3分，共18分）1.设是实数域上的3次多项式，则（）一定有三个实根；至少有一个有理根；一定有一组非实共轭复根；至少有一个实根.第1页重庆理工大学硕士研究生试题专用纸1.设为3阶方阵且（其中表示的秩），则（）；；；.2.下列集合中，是的子空间的是（）；；；.3.设，是欧式空间的相互正交的向量，则下列等式正确的是（）；；；.4.当满足（）时，二次型是正定的。；；；.5.设阶方阵与有相同的特征值，则（）与合同；；与相似；.三、（10分）设，（1）判别在上是否可约，若不可约请证明之。（2）若是的四个根，试求的值（其中）

3、。四、（10分）计算阶行列式第2页重庆理工大学硕士研究生试题专用纸五、（12分）设阶方阵满足方程，其中为阶单位矩阵。（1）求的所有可能的特征值；（6分）（2）证明可逆并求其逆矩阵。（6分）六、（10分）设为维欧氏空间，，为的子空间，证明：（1）;（5分）（2）。（5分）七、（12分）讨论当为何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷解？并在方程组有无穷解时，求出其结构式通解。八、（20分）令表示数域上的四维列空间，取重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第3页设为的线性变换，使得。（1）证明是的一个基，并求关于这个基的矩阵；（12分）（2）求的核与像的维数

4、。（8分）九、（20分）给定二次型已知二次型的三个特征根之积为28，且。（1）求；（6分）（2）用正交变换将该二次型化为标准型，并写出所做的变换；（10分）（3）判断为何种二次曲面。（4分）十、（20分）设为3阶实对称矩阵，3阶正交矩阵使且已知的第三列为。（1）求矩阵；（12分）（2）求矩阵；（4分）（3）证明：为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。（4分）重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第4页