2017-2018学年浙教版八年级数学上册习题：小专题

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1、小专题(一)构造全等三角形的方法技巧方法1利用“角平分线”构造全等三角形因角平分线本身已经具备全等的三个条件•屮的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：(1)在角的两边截取两条相等的线段；(2)过角平分线上一点作角两边的垂线.1.如图，AB/7CD,BE平分ZABC,CE平分ZBCD,点E在AD上，求证：BC=AB+CD.证明：在BC上截取BE=AB,连结EF.VZABC,ZBCD的平分线交AD于点E,.•.ZABE=ZFBE,ZBCE=ZDCE.在AABE和ZFBE中，AB=FB,

2、BE,BE=BE,•••△ABE竺△FBE(SAS).・・・ZBAE=ZBFE.VAB//CD,AZBAE+ZCDE=.180°・.•.ZBFE+ZCDE=180°.VZBFE+ZCFE=180°,:.ZCFE=ZCDE.在ZFCE和ADCE中，"ZCFE=ZCDE,

3、点P作PE丄0A于点E,PF丄0B于点F.・・・ZPEC=ZPFD=90°•TOM是ZAOB的平分线.・・・PE=PF.VZAOB=90°,ZCPD=90°,・・・ZPCE+ZPD0=360°-90°-90°=180°.VZPD04-ZPDF=180°,・・・ZPCE=ZPDF.在ZPCE和APDF中,"ZPCE=ZPDF,

4、相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目.3.如图，在ZABC中，ZA=60°,BD,CE分别平分ZABC和ZACB,BD,CE交于点0,试判断BE,CD,BC的数量关系，并加以证明.解:BC=BE+CD.证明：在BC上截取BF=BE,连结OF.・・・BD平分ZABC,.-.ZEB0=ZFB0.又VB0=B0,.-.AEBO^AFBO(SAS)..•.ZE0B=ZF0B.VZA=60°,BD,CE分别平分ZABC和ZACB,・・・ZB0C=180°-Z0BC-Z0CB=180°-

5、zABC-

6、zA

7、CB=180°-

8、(180°-ZA)=120°..-.ZE0B=ZD0C=60o..-.ZB0F=60o,ZF0C=ZD0C=60°.・.・CE平分ZDCB,・・・ZDC0=ZECO.又・.・CO=CO,•••△DCO竺△FCO(ASA).・・・CD=CF.・・・BC=BF+CF=BE+CD.4.(德州中考)问题背景：如图1,在四边形ABCD中，八B=AD,ZBAD=120Q,ZB=ZADC=90°.点E,F分别是BC,CD上的点.且ZEAF=60°.探究图中线段BE,EE,FD之间的数量关系.图I图2(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD

9、到点G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE^AADG,再证明AAEF^AAGF,可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；(2)如图2,若在四边形ABCD屮，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的点，且ZEAF=

10、zBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.解：EF=BE+DF仍然成立.证明：延长FD到G,使DG=BE,连结AG,VZB+ZADC=180°,ZADC+ZADG=180°,・・・ZB=ZADG.BE=DG,在AABE和AADG中，ZB=ZADG,AB=AD,AAABE^AADG(SAS).・・・AE=A

11、G,ZBAE=ZDAG.1VZEAF=-ZBAD,・・・ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF.・・・ZEAF=ZGAF.AE=AG,在ZXAEF和AAGF中，IZEAF=ZGAF,AF=AF,.-.AAEF^AAGF(SAS),.EF=FG.•・・FG=DG+DF=BE+DF,AEF=BE+DF.方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS证三角形全等.3.已知：如图，AD,AE分别是/MBC和AABD的中线，且BA=BD.求证：AE=

12、aC.证明：延长AE至F,使EF

13、=AE,连结DF.TAE是AABD的中线,・・・BE=DE.又VZAEB=ZFED,AAABE^AFDE(SAS)..•.ZB=ZBDF,AB=DF.