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《2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用331利用导数判断函数的单调性教学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3.1利用导数判断函数的单调性［学习目标］1.学握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.戸预习导学聾挑战自我，点点落实［知识链接］以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设加＜曲的前提下，比较fCG与HQ的大小,在函数y=fx）比较复杂的情况下，比较f（x）与代应）的大小并不很容易.如何利用导数来判断函数的单调性？答：根据导数的儿何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，
2、函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.［预习导引］1.函数的单调性与导数的关系（1）在区间（日，勿内由函数的导数求单调性有如下关系：导数函数的单调性f（劝＞0单调递壇r（%）＜o单调递减f3=0常数函数（2）在区间（日，b）内rh函数的单调性求导数有如下关系:函数的单调性导数单调递壇f匕）$0,且尸（方在（曰，力）的任何子区间上都不恒为零单调递减f（0WO,且尸（方在（日，切的任何子区间上都不恒为零常数函数f（劝=02.—般地
3、，如果一个函数在某一范圉内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范阖内变化得:快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”・戸课堂讲义J重点难点，个个击破要点一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数于3=干兰在区间仔，兀)上单调递减.、十“和■/、-ycos%—sin%口(兀、证明F(%)=?,又兀丿，贝!JcosXOtsinx>0,xcosx~sin*0,)上单调递减.:,f(劝〈0,fx)在仔，n规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的
4、研究必须保证在定义域内这个前提下进行.⑵尸3>(或<)0,则fd)单调递增(或递减)；但要特别注意,/U)单调递增(或递减),则尸(0鼻(或冬)0.1ny跟踪演练1证明：函数/U)=—在区间(0,e)上是增函数.x1—lnx2.X."•丄—lnx/、Inx-/、x证明*•*—,*•r(a#)=2:XXr，/、1—1nxX00,x故fd)在区间(0,e)上是增函数.耍点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)fx)=2^+3/—36%+
5、1；(2)f(x)=sin^—%(0<%<兀)；(3)/'(%)=3x—21n%；(4)fx)=x—2>tx.解⑴f(x)=6#+6x—36由f'3>0得6#+6x—36>0,解得%<—3或Q2；由尸(劝〈0解得一3CK2故fd)的增区间是(一8,-3),(2,+-)；减区间是(-3,2)⑵尸(方=COSX—1.因为0〈水兀，所以cos/—1〈0恒成立，故函数代劝的单调递减区间为(0,兀)(3)函数的定义域为(0,+8),,/23/-1f(%)=6%—=2•.xx%X—令尸(%)>0,即2>0,X
6、解得3Ar—1令尸(方〈0,即2<0,x:・fg的单调递增区间为（普,+◎，单调递减区间为（0,（4）r（方=3*—3乃令尸U）＞0,得3#—3上＞0,即#〉Z,・••当£wo时，r（02o恒成立，且尸（方在R的任何子区间上都不恒为零，函数的增区间是（—8,+-）；当Q0时，令尸3＞0得，x汕或*一込，令f（0＜0得一寸7〈水寸7,函数的增区间是（一8,—寸7）和（⑴，+°°）；减区间是（一彳7）规律方法求函数的单调区间的具体步骤是：（1）优先确定fd）的定义域；（2）计算导数尸（方；⑶解尸（%）＞0和
7、尸3〈0；（4）定义域内满足尸匕）＞0的区间为增区间，定义域内满足尸匕）〈0的区间为减区间.跟踪演练2求下列函数的单调区间：（1）f{x）=x—x;（2）f{x）=x~x—x.,所以函数fd）的单调递增区间为解（1）函数fd）的定义域为（0,+-）.尸3=2—,由尸3=2l£＞0且皿得由尸3〈0且Q0得所以函数fd）的单调递减区间为0,(2)F(劝=3/—2^—1=(3^+1)(^―1)•由尸3>o得*—右或/>1；由尸（%）<0得一亍VxVl,故函数fd）的单调递增区间为（一8,-
8、）,（1,+-
9、）,单调递减区间为（一扌，1）.要点三已知函数单调性求参数的取值范围例3已知函数f{x）—x+-（%7^0,常数aeR）.若函数在[2,+8）上是单调递增X的，求臼的取值范围.9O，一解尸匕）=2/—q=JXX要使f（0在[2,+8）上是单调递增的，则F320在XW[2,+«）时恒成立，9”一7即一^20在[2,+8）吋恒成立.x・・・/>0,・・・2/—臼事0,・SW2F在xW[2,+oo）上恒成立.日W（2^）niin.・・了=2,在[
