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《2013年高考数学必做解答题――导数和其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2013年高考数学必做解答题一一导数和其应用导数与函数(★★★★)必做1已知函数f(x)-eax-+a+l,其中a2T.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若存在xl>0,x20,x20时，f(x)的单调递减区间为(-1,0),0单调递增区间为(-8,-1),,+°°.(2)①当a>0时，若xG(0,+°°),f(x)min=f=e(a+1)2>1,而xG(-8,0),f(x)max=f(-1)=e-a0,符合题意.综上，a的取值范围是［T,0).极速突击讨论函数的单调性，其实质就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一
2、元二次不等式或一元分式不等式的解集的讨论.当能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小直接求解，若此时含有参数，则需分类讨论；当不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论时千万不要忽视定义域的限制.利用导数研究函数单调性的步骤：①求导数f‘(X)；②在函数f(x)的定义域内解不等式f‘(x)>0或f‘(x)0成立，求b的取值范围；(2)求证：函数尸f‘(x)在(-1,0)内至少存在一个零点；(3)若函数f(x)为奇函数，且在x=l处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程f(x)=-t在［T,t］(
3、t>-l)上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围.［牛刀小试］破解思路第(1)问最终可转换为研究二次函数含参数的问题，数形结合便可得解.第(2)、(3)问的本质是一回事，即研究方程根(函数零点)的问题，最佳解题策略依然是数形结合，以形的直观性来解决代数问题.精妙解法(1)当a二时，f‘(x)二x2+2bx+b-二(x+b)2-b2+b-,所以其对称轴为直线x二-b,可得-b^-2,f‘(-1)>0,解得b0,b无解.所以b的取值范围为—OO(2)fr(x)二3ax2+2bx+(b—a).法1:当a=0时，x二-符合题意.当a7^0时，3x2+
4、x+-1二0，令t-,则3x2+2tx+(t_l)=0.令h(x)=3x2+2tx+(t~l),因为h-=-l时，h(0)=t-l>0,所以y=h(x)在-，0内有零点；当tWl时，h(-1)=2-t^l>0,所以y=h(x)在-1,-内有零点.所以，当aHO时，y二h(x)在(T,0)内至少有一个零点.综上可知，函数y二f‘(x)在(-1,0)内至少有一个零点.法2：由已知，f‘(0)=b-a,f'(-1)=2a-b,f‘■因为a,b不同时为零，所以f'-・f‘(一1)[图1][一1][x][y][0][1][][-]法1：作出y二f(x)与
5、y二-的大致图象，若只有一个交点，贝(]：①当T0,即t3-t,解得-WtW一；②当--1>0,解得-[0][x][y][-1][f(t)][y=-][-]图3③当t=0时，显然不成立；④当O[O][x][y][-l][f(t)][y=-][-][t]图4①当[o][x][y][f(t)][y=-][][t]图5②当t>l时，如图6,可得-二f?t二.[0][x][y][t][尸一][]图6综上，t的取值范围是-Wt-1)上有且只有一个实数根.极速突击判断任意连续可导函数y=f(x)的零点个数的步骤：(1)求f‘(x)=0的解xl,x2,…，x
6、n(xlO对x$3怛成立，故a〉0,所以2ax2+(l_4a)x~(4a2+2)三0对x[3,+QO)上恒成立.令g(X)=2ax2+(l-4a)x-(4a2+2),其对称轴为x=l~,因为a>0,所以1-0,所以0.(3)若&二-时，则方程f(l-x)二+可化为lnx-(l~x)2+(l-x)=.问题转化为b二xlnx-x(l~x)2+x(l-x)=xlnx+x2-x3在(0,+8)上有解，即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.因为g(x)=x(lnx+x~x2),所以g‘(x)=lnx+l+2x-3x2.设p(x)=lnx+l+2x
7、-3x2,则p‘(x)二+2-6x二-.当00,所以p(x)在0,上单调递增；当x>时，p‘(x)0•又p二-2+1■-当xOO,所以g(x)在(xO,1)上单调递增；当x>l时，g‘(x)h(1)二0,rf(x)>0,即r(x)在(0,1)上递增，且r(e-1)=1时，h(x)0,所以r(x)在x=l处取得最大值r(1)=1,所以要使y二与y二a有两个不同交点，只需0(2)由已知得二，所以x0=,xO-xl=-xl=二.设t二得x0—xl二(t>l).设g(t)=t-l-lnt,当t$l时，gf(t)二―0,g(t)在［l,+8)上递增，所以
8、t>l时,t-l-lnt>0,则x0-xl>0,即x0>xl成立.同理可证x2〉x0成立，即证.(★★★★★)必做5已知函数f(x)=ax+x2-xl
