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1、清北学堂2012寒假数学集训一测试卷(二)一、填空题(每小题8分，共80分)1、设R、0是实数，使得关于兀的方程兀2_(2R+1)兀+疋_1=0的两个根为sin^Clcos&,则0的取值范围是・2、已知集合A={(x,y)~=a+l},B={(x,y)
2、(a2-l)x+(a-l).y=15).若A"3=0,则a的所有取值是・3、首位数字是1,且恰有两个数字相同的四位数共有・4、设一个四面体的体积为％,且它的各条棱的屮点构成一个凸多面体，其体积必•则冬为-v.5、在平面直角坐标系兀Oy屮，一个圆经过(0,2)、(3,1),且与
3、x轴相切.则此圆的半径等于.6、若正整数a使得函数y=f{x)=x+yj3-2ax的最大值也是整数，则这个最大值等于.(17、已知函数/(x)=log,+-在［1,2］上恒正，则实数°的取值范围2丿是.8、已知正实数a、b满足a+b=,则M=J1+/+Jl+2b的整数部分是.fyn—Ixl—19、在坐标平面上，由条件'所限定的平面区域的面积是・庆-2卜
4、+310、在1,2,3,4,5的排列G］,勺，中，满足条件。2＞。3，$V他，©＞鸟的排列的个数是・二、解答题(共70分)1.(10分)已知任意四边形ABCD屮，E是
5、AD的屮点，F是BC中点，求证：丽=*(而+反)。2.(30分)函数/(兀)定义在(-oo,0)(0,+«＞)±,对定义域中任意数x,在定义域中存在石,勺，使兀=西-兀2，•/(舛)工・/(吃)，且满足以下三个条件：①若X},X2G(-oo,0)U(0,+oo),/(召)工/(兀2)或0＜卜]一兀2
6、＜口，贝U②/(«)=1(0是正常数);③当0＜兀＜2^时，/(x)＞0o试证：(1)/(x)是奇函数；(2)/(x)是周期函数，并求出其周期；(3)/(x)在(0,4a)内是减函数。3.(15分)设集合人={屈13＜2000,
7、兀=4£+1,展Z},集合3={川分53000,尸3£-1,辰Z],求
8、Ac创。4.(15分)设〃是大于5的素数，求证：240
9、(/-l)o清北学堂2012年寒假数学集训一测试卷(二)答案一、填空题1・《=2畅+龙或2皈-彳牛Z»解析：由根与系数的关系有sin&+cos&=2£+1(1)sin&cos&=k，(2)将(1)平方后，将(2)式代入，有1+2(P-1)=(2^+1)2,解得k=-o将k代回原式，有Jsin&+cos&=-l(1)jsin&cos&=0(2)*■所以可得到e的取值范圉为o =2H7T+龙或2m
10、o22・±1,-4,—解析：记A:y-3=(d+l)(x-2),/2:(«2-l)x+(«-l)y=15,(2,3)在I[上,2但(2,3)站，若AnB=0,则有/,///2,或厶与厶相交于点(2,3)或A=0或B=0O(1)当心±1时，厶的斜率为—的斜率为一心U—S+]),所以直线厶与直线・a-&不平行。此时若厶与厶相交于点(2,3),则将(2,3)代入厶，得2(宀1)+3(—1)=15,解得或。=丄o2(2)当a=-时，有A={(x,y)
11、y=3,兀工2},B=^(x,y)
12、y=~—>fAcB=0。2(3)当0=1时
13、，有B=0,AnB=0o所以°的所有取值是±1,・4,-o23・432个解析：当重复数字为1时，有C；W=2I6,当重复数字不为1时，有C；.C；・C；=216,所有共有432个。4•丄提示：用总的体积减去凸多而体以外的体积，所得到的即为凸多而体的体2积。5・15±6亦解析：设圆心坐标为仏b),半径为厂，由题意知H=r,所以圆的方程可写为(x-t/)2+(y-/?)2=/ro将(0,2),(3,1)代入圆,得/+(2—方『nF(1)*(3-d)'+(l-斫"(2)(312当*<丄<1时,2a即旳VI时,13—14、—2时，即0<叫时,0vg(2)vl?+1]+(2-，解得方=15±6厉，所以r=15±6V5o13)6.7解析：令I=J3-2ax,/>0o所以尤=_o所以有/(/)=―+/+—o2a2a2a由于a为正整数，所以/⑴是开口向下的二次函数，它的对称轴为心°。将心/弋入函数，有+«+—=-+当a=i吋，/(1)=7,是/(兀)的最大整数值。2a2ci22a解析：令g(x)=ax2-x+^~,g(x)的对称轴
15、为A-=-L>1,且22a站+存下面分情况讨论。的取值范围。(1)当W时，211v+8,若要满足题意，则有xe[1,2]时，0vg(x)vl。(2)当°>1时，0v丄v丄，若要满足题意，则有xg[1,2]时，g(x)>l。即有g(l)>l,la2解之得a〉—2所以综上所述，°的取值范围为U
