寒假数学集训模拟测试甲班

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1、2013年奥林教育寒假数学集训甲班模拟测试一第一试一、填空题1.函数，则的解集为。2.。3.已知数列满足，且，则。（用表示）4.已知的两条直角边为斜边上的动点，现沿将此直角三角形折成直二面角，则当取得最小值时，二面角的大小为。5.已知椭圆的方程为，经椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于两点，设，延长分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，则。6.对于，定义，其中，表示不超过实数的最大整数，则在中满足的正整数的个数为。7.给定一个单位圆的内接正（为奇数）边形，记为正边形任两个不同顶点之间的距离所组成的集合，则的值为。8.设为一个给定的奇质数，对于，记为模的余数，

2、则。二、解答题9.设为给定的正整数，记，证明：11。10.定义在上的函数满足：，且对任意，有，求最小的实数，使得对任意，都有。11.已知双曲线，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，设，求的取值范围。11加试一、已知的外接圆过点的切线交于点，在射线上分别取点满足，过点的直线分别与的延长线交于点，直线与交于点，直线与交于点，证明：。二、对于给定的正整数，记，规定：当时，，证明：11三、定义函数，满足，其中，表示不超过实数的最大整数，对于（1）；（2）；（3），求。四、有2012位学者参加某数学会议，他们中有些人相互认识，且满足：（1）每个人至少人数

3、其中的671人；（2）对于其中任意两个人，若相互不认识，则总可以通过其他人间接认识，即存在，使得认识认识认识；（3）不可以将2012位学者排成一排，使得相邻的两个人相互认识。证明：可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人互相认识，另一组任何两个人不认识。2013年奥林教育寒假数学集训甲班模拟测试一第一试答案一、填空题1..易知，函数是定义在上单调递增的奇函数，由。2..113..由，则，故.4..图1如图1，作于点，于点，设，由折叠后的图形知，故当时，最小.下面求二面角的大小.过点作于点，折叠后为二面角的平面角.在中，，故.5..

4、设，则直线11代入椭圆方程消去得，则.代入直线的方程得，于是，.同理，.则.因为三点共线，所以，.故.6.108.记，则.注意到，为模的余数，是的首位数字。下面分类讨论.（1）为一位数，均满足要求，共9个.（2），共81个（除了的）.（3），于是，共9个.（4），于是，，共9个.故满足要求的的个数为108.7..设，记多边形为，将正多边形放到复平面内，中心为原点，顶点所对应的复数为.11记为中从大到小的第个距离，则.则，由.8..易知.因为，所以，.故.二、解答题9.注意到，.故.10.（1）证明：对一切的，有，若，则；若，不妨设，则.（2）对于函数.若

5、，则若，则.当时，；11当时，.故综上，满足要求，且.因此，.由（1）、（2）知.11.设直线，则.设，将直线的方程代入双曲线的方程得因为方程①有两个不同的正根，所以，.由，得.将其代入双曲线方程得.同理，.于是，是方程的两个根，其中，.则.11故.记，则，.所以.加试一、如图2，设为的平分线，与交于点，联结，图2由，得.于是，.因此，，则.同理，.故.又，故.11二、记.则.记则.故.从而，.三、易知，，且对一切，.则，，.若，则.因为，所以，.故.（1）；（2）由，得；（3）.四、将2012位学者看作2012个点与相邻当且仅当与11相互认识，这样就得

6、到了一个图.取最长一条链，不妨设.由条件（3）知，设表示与相邻的点的集合，则.设，，，.由链的最长性，知对任意的.下面用反证法证明：.假设，则，矛盾.故.设，则构成一个圈.对于余下的点：与不相连，除以外的任意两点，若与相连，则一定存在一条包含了和的一条链，这样就找到了比更长的链，矛盾。故与不相连.综上，可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两个人不认识。11