laplace方程的小波近拟解

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1、北京工业大学理学硕士学位论文来求解偏微分方程【14卜【3引．近年来，二维Laplace方程的Cauchy问题受到了很多研究者的关注[13】，【30卜【371．在许多物理学问题中，诸如寻求矿产资源，需要在远离矿产资源的地球表面研究重力位势，这就相当于建立如下二维Laplace方程的Cauchy问题．0

2、=可∈J，诉I．．雩挈，可“(勿)!’占一’寐I．是方程(1-1)的解，其中，是实直线上的一个闭区间．我们注意到，当佗趋于无穷时，边界条件鲰(掣)一致收敛于零，但容易验证牡。(z，∥)却不一致收敛于零．利用小波来研究上述方程，已有部分研究，在文【13】中，研究了此问题，主要结果为：0，=们叽=@吼塑妒刊肛+们毗气乒㈣当一巩一如则抛一如可一鱼舻∞一，C—O型讵万亟∞∑舢q第1章绪论定理1．1令虿是测量边界条件且满足№一列Lz≤E，如果歹=歹(￡)使得以cosh％+2≤％，并且当E呻。时有J(￡)一。o，则对o

3、u(”)怯=o，其中，％是对应于测量边界条件虿方程(1—1)的小波正则解，让是对应于边界条件夕的方程(1．1)的解，q+2：娑2J是与J有关的常数，尬为常数．文[30]中，利用Fourier变换和小波方法研究了Laplace方程的cauchy问题，主要结果为：定理1．2存在5≥7'，使得IIu(1，可)lIⅣ，≤E成立，当r≤min_[o，s)时，若№一列矿≤6，其中日7为Sobolev空间，范数定义为：盯岭(加钏2(-删飚)5，穴∈)是，的Founer变换，若J：=[-og：(2(·n(詈(·n鲁)_2cPr，)))]，其中[a

4、]是取整函数，则II正9一B，．，‰II护≤

5、解，并研究所构造小波解和精确解之间的L2收敛和点态收敛．1．2预备知识对任意给定的，∈工1(R)，其Fourier变换定义为硇=去上m)e叫‰，甜(母由于三1(R)nL2(R)在L2(兄)中稠密，我们可以将Fourier变换的概念拓广到L2(R)中【391．1．多分辨率分析(MRA)多分辨率分析⋯是构造性质良好小波的—个重要工具．平方可积函数空间L2(R)中的一列线性闭子空间(巧)J∈z称为一个多分辨率分析，如果满足下面条件：(a)⋯c亿1c％cⅥC⋯；．(b)nJEzK={o)；(c)嘶=L2(兄)；(d)，(z)∈％铮，(2J

6、z)∈巧，J∈z；(e)存在咖(z)∈％使得{咖(z一七))七∈z为％的标准正交基，其中矿(z)称为此多分辨率分析对应的尺度函数．从上述定义可知：K=面五丽∈z，．【咖奄(z)=2{≯(2Jz一后)，七∈z)构成巧的标准正交基．从多尺度分析对应的尺度函数≯(z)出发，我们可以按照下面的方式构造出小波函数：．缸第1章绪论设{K}J∈z是由尺度函数咖(z)生成的MRA，{夕(尼))七∈z=．[<咖，≯。七>)％∈z是尺度序列，定义小波序列^(尼)=(一1)2页两，及小波函数妒(z)=∑≈^(七)咖-k(z)，若固定歹，则奶七(z)=2

7、§妒(2Jz一七)，七∈z为叱的正交基，其中％为K在巧+-中的正交补(嵋+z=巧0％)．可以证明，(奶☆)舭∈z为L2(冗)的标准正交基．2．shannon小波及其性质shann。n小波的尺度函数≯(z)=警对应的Fourier变换为：硇=p誊容易看出咖k(∈)砂(∈)呜七(∈)7r≤Ifl≤27r其它．Pe叫纠仑一’≯2J+1死进一步，如下三点性质成立：上面q，I●I●I，、●●【丌<一苣㈧其《上历吼北京工业大学理学硕士学位论文(1)supp咖七(∈)={∈：lfI≤7r2’)，七∈zsupp历七(∈)={∈：7r2’≤l引≤丌

8、2J+1)，七∈z．设弓；Q分别表示从L2(R)到K，％的正交投影算子，即V．厂∈L2(冗)，B，(y)=∑(，，咖七)向t(夕)，七∈Z锄砌)=∑(，，咖七)奶t(可)，七∈Z则由性质(1)可以看出，弓为一低通滤波器，它可滤掉频率大于丌分的部分．