高考专题10 数列求和及其应用（教学案）-2019年高考文数二轮---精校解析Word版

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1、高考数学专题高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．明年高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．1．数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时

2、若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合．(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．数列的实

3、际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读文解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推文予以解决.【误区警示】1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．高频考点一　由递推关系求通项例1、（2018年全国III卷）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或（2）【解析】（1）设的公比为，由题设得

4、．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得，综上，．【变式探究】已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【方法规律】求数列通项的常用方法1．归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．2．已知Sn与an的关系，利用an＝n≥2求an.3．累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列

5、求通项公式时，常用累加法(叠加法)．4．累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．5．构造法：(1)递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋＝p(p≠1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解．(2)递推关系形如an＋1＝(p为非零常数)可化为－＝的形式．【变式探究】数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，an＝2Sn－1＋3n(n≥2)，则该数列的通项公式为an＝________.解析：∵an

6、＝2Sn－1＋3n，∴an－1＝2Sn－2＋3n－1(n≥3)，两式相减得：an－an－1＝2an－1＋2×3n－1，即an＝3an－1＋2×3n－1，∴＝＋(n≥3)，又a2＝2S1＋32＝2a1＋32＝15，＝，＋＝，即＝＋，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)×，∴an＝(2n＋1)3n－1.答案：(2n＋1)3n－1高频考点二　分组转化法求和例2、Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝

7、0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.【方法规律】1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用相邻

8、两项并项(分组)后，再分组求和．2．分组求和中的分组策略(1)根据等差、等比数列分组．(2)根据正号、负号分组．【变式探究】已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．高频考点三　错位相减法求和例3、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.(I)求数列{an}通项公式；(II){bn