高考专题08 平面向量（教学案）-2019年高考理数二轮复习---精校解析Word版

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1、高考数学专题高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．预测高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.3．平面向量基本定理如果e1、e2是

2、同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．5．向量的坐标表示及运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．6．平面向量共线的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．7．平面向量的数量积

3、设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝

4、a

5、

6、b

7、cosθ.(2)投影：＝

8、a

9、cosθ叫做向量a在b方向上的投影．8．数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝

10、a

11、·

12、b

13、；当a与b反向时，a·b＝－

14、a

15、·

16、b

17、；特别地，a·a＝

18、a

19、2；(3)

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、；(4)cosθ＝.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

26、a

27、＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；

28、a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为，而不是.4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.高频考点一　平面向量的概念及运算例1．【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，

29、a

30、=2，

31、b

32、=1，则

33、a+2b

34、=.【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb即(m,4)＝λ(3，

35、－2)＝(3λ，－2λ)∴故m＝－6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b∴m×(－2)－4×3＝0∴－2m－12＝0，∴m＝－6.答案：－6【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)A.B.C.D.解析：基本法一：设＝a，＝

36、b，则＝－b＋a，＝－a＋b，从而＋＝＋＝(a＋b)＝，故选A.基本法二：如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.答案：A高频考点二　平面向量数量积的计算与应用例2．（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【变式探究】已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵＝，＝，∴

37、

38、＝1，

39、

40、＝

41、1，·＝×＋×＝，∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.∵0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝〈，〉＝30°.速解法：如图，B为原点，则A∴∠ABx＝60°，C∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.答案：A【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1B．0C．1D．2【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算