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1、染色模型在“立体几何”计数问题中的应用（四个方面）一、直接求解例、从平面上取个点，从平面上取个点，这个点最多可以确定多少个三棱锥？解析:利用三棱锥的形成需个点，将问题分成平面上有个点、个点、个点三类直接求解，共有个三棱锥。ABCDP例、在四棱锥中，顶点为，从其它的顶点和各棱的中点中取个，使它们和点在同一平面上，不同的取法有（）种。、、、、解析:分三类。①在四棱锥的每一个侧面上除点外取点，有种；②在两个对角面上除点外取点，有种；③过点的每一条棱上的点和与这条棱异面的棱的中点也共面，有种。共有种。二、结合“立体几何”概念求解例、空间个点无三点共线，其中有个点共面，此外没有任
2、何四个点共面，则这些点可以组成多少个四棱锥？解析:种。三、结合“立体几何”图形求解例、如图，如果把两条异面直线看作“一对”，那么六棱锥的棱和底面所有的条直线中，异面直线有（）对。、、、、ABCDEA1B1C1D1E1解析：种。例、如图，用正五棱柱的个顶点中的个顶点作四棱锥的个顶点，共可得多少个四棱锥？解析：分四类。①以棱柱的底面为棱锥的底面，有个；②以棱柱的侧面为棱锥的底面，有个；③以棱柱的对角面为棱锥的底面，有个；④以图中(梯形)为棱锥的底面，有个。共有个。四、构造几何模型求解例、㈠在正方体的个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？㈡与空间不共面的四点距离相等的平面有多
3、少个？解析：㈠①从正方体个顶点中任取个顶点，共面情况有种（共正方体的面或共对角面，无其它的面）；②从正方体个顶点取出不在同一平面上的个顶点，有：种；③空间不在同一平面上的个点，可以组成对异面直线；④共有对。3“染色模型”在“立体几何”计数问题中的应用（共3页）ABCDMNOPQS㈡个。画一个四面体，在上面取个不共面的顶点，可知有个平面到这点的距离相等。空间四个点、、、构成一个四面体。设、、、、、的中点分别是、、、、、。①四面体的四个中截面：平面，平面，平面，平面；②与相对棱平行的平面：平面，平面，平面。共有个平面满足要求。五、练习及答案、（湖北卷）以平面六面体的任意三个
4、顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（）。（）、、、、解析：个顶点中任意个均不共线，从中任取个均可构成三角形，有个；再从中任取个，共有种不同的取法。又，个顶点中，点共面有种情况；（个面和个对角面），每个面的个顶点确定个不同的三角形，从中任取个，有种情况，取到的两个三角形共面共有种不同的取法。所以随机取出两个三角形不共面的概率为。、对于已知直线,如果直线同时满足下列三个条件:①与直线异面；②与直线所成的角为定值；③与直线的距离为定值。那么这样的直线有（）。（）、条、条、条、无数条解析：①过直线可作无数个平面。②在平面的两侧可以分别作平面
5、平面、平面平面，且平面与平面、平面的距离都为所给定的异面直线、间的距离。③在平面、平面上分别可作一组直线直线、一组直线直线。④在平面上可作直线与直线交成所给定的异面直线、之间的夹角。（当夹角为直角时,可作一组相互平行的直线；当夹角为锐角时可分别作两组相互平行的直线）。⑤在平面上可作直线与直线交成所给定的异面直线、之间的夹角。（当夹角为直角时,可作一组相互平行的直线,当夹角为锐角时可分别作两组相互平行的直线）。因为过直线可作无数个平面，所以满足条件的直线就有无数条。、如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线
6、与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）。、、、、（）3“染色模型”在“立体几何”计数问题中的应用（共3页）解析：对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,有个；对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,有个。正方体中“正交线面对”共有个。、设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截这个四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面（）（）PABCD、不存在、只有个、恰有个、有无穷多个解析：面和面有一条交线,面和面有一条交线,这两条直线交于点且确定一个平面。若一个平面和一个已知平面上的一条直线平行,那么如果这个平面和已知平面相交,交线
7、和那条直线也平行。若平面平行于平面,就会平行于和,而在面和面上,在面和面上，此时平面截四棱锥,与四棱锥的四个侧面形成四条交线,有两条与平行,另两条与平行,从而两组对边分别平行,使截面为平行四边形。而对于四棱锥,平行于平面的截面有无数多个。P4P6P1P2P3P5P7P8P9P10、点、、、分别是四面体的顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组共有个。（）解析：组合问题。三个侧面有个，加上、、三个，共个。、在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是。（或或或）④③②①解析：①中有条；②中有条；③中有条；④中
