长方体模型在立体几何教学中的应用

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1、长方体模型在立体几何教学中的应用长方体是特殊的六面体，是立体几何中的基本几何体,其结构对称,各元素之间具有相等、平行、垂直等关系,内涵丰富,是研究线面关系、线线关系、特殊几何体的一个重要载体,在处理某些立体几何问题时,若能根据题意,合理恰当地构造出长方体模型,则可化繁为简、化难为易,巧妙地将题目解出,常能收到事半功倍的效果，下面举例说明。一、构筑模型求有关体积表面积问题例1、若三棱锥A—BCD的三条侧棱两两垂直，AC=AD=1，AB=2，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则

2、该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．∴长方体的对角线长为＝∴外接球半径，三棱锥A－BCD的外接球体积。例2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．答案　π解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．据题意解得∴长方体的对角线长为＝二、利用模型判断证明位置关系例3.（2013广东文）设为直线,是两个不同的平

3、面,下列命题中正确的是1．若,,则2．若,,则3．若,,则4．若,,则【点拨】构造长方体模型，选择其中恰当的线与面，可得答案是2例4．(2012·无锡高三质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，G分别是AA1，D1C，AD的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)设α是过MN的任一平面，求证：α⊥平面B1BG.证明　(1)取CD的中点E，连接NE，AE，⇒NE∥MA且NE＝MA，所以MAEN为平行四边形．所以MN∥AE.⇒MN∥平面ABCD.(2)在正方形ABCD中，易证△BAG≌△ADE，所以∠DAE＋∠AGB＝∠ABG＋

4、∠AGB＝90°.所以AE⊥BG.⇒B1B⊥AE.⇒AE⊥平面B1BG.又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG.⇒α⊥平面B1BG.三、构造长方体模型解“有关线面、面面平行与垂直问题”．例5、三个两两互相垂直的平面，它们的交点为，点Ｐ到这三个平面的距离之比为点为，且，求点Ｐ到这三个平面的距离。解析：由三个两两互相垂直的平面容易联想到长方体模型，如图所示，构造长方体,使。则，即，解得故点Ｐ到这三个平面的距离分别为。例6、（2014年福建卷）如图所示，三棱锥中，平面，（1）求证：⊥平面；（2）若，为中点，求三棱锥的体积．解析：（1）∵平面，平面，∴，又

5、∵，，平面，平面，∴平面．（2）由平面，得，.∵，∴，∵是的中点，∴，由(1)知，⊥平面，∴三棱锥的高，因此三棱锥的体积为．说明：上面的解法是高考命题组给出的标准答案，但我们仔细观察所给立体图形的特征，我们会发现它是长方体的一个部分（如图）．所求证的结论（1）就是证明长方体的一条棱和不经过该棱一个面垂直。这是显而易见的。而（2）的立体图形更特殊，就是一个正方体的“角”，其面积为正方体的，由此快速得到所求体积为．通过上述几个例题可见，构造长方体这模型解题，是一种转化途径，也是一种整体思维策略。这对于培养学生的空间想象能力，提高学生思维的灵活性，优化

6、学生的思维品质，都是大有裨益的。