论文：长方体模型在教学过程中的应用

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1、长方体模型在数学教学中的应用邮编362141惠安荷山中学张嘉钦电话13489257566发表于：市教学论文汇编【内容摘要】构造性思想及其方法就是这样的一种手段.构造法在立体几何中主要表现在辅助线，体的添加，这就是常说的分形与补形，并根据题目的特征，精心构造一个相应的“模型”，实际上是将待解决问题的条件和数量关系，显示在所构造的“模型”之上，并且得到相应的解释，从而转化为所构造模型的相应问题，实现用简捷方法解复杂问题的目标【关键词】构造性思想长方体模型解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困

2、难，甚至无从下手，在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径.构造性思想及其方法就是这样的一种手段.构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加，这就是常说的分形与补形，并根据题目的特征，精心构造一个相应的“模型”，把复杂问题转化为简单问题，由于实际的三维图形，总是用二维图形来表示，这就造成了学生识图、画图、用图的困难，这就要培养学生的空间想象能力，使空间图形成为学生头脑中活的思维对象.《普通高中课程标准实验教科书》必修2的立体几何是以大家熟悉的长方体为载体，来认识和理解空间中点、直线、平面之间的位置关系，体现

3、了长方体的直观性和重要性，高考中也常以长方体或正方体等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明.通常利用“构造模型法”突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造长方体模型，把这些线、面变成长方体的线段或某一面，进而加以解决.例1（2007年高考福建卷·理）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.B.C.D.分析：本题借助符号语言，讨论直线与平面平行、垂直关系，解

4、决问题的角度可以从相关定理的条件入手加以研究分析，也可以借助几何体进行研究，由于长方体是学生最为熟悉的几何体，故本题可借助长方体模型来考查空间中直线与平面的位置关系.易得D为正确选项.《普通高中课程标准实验教科书》必修2，第77页的探究题给出了“已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直？”这是一个很有用的几何模型，把线段补充完整可得一个四面体，此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们把它称为“三节棍”模型.若把题目变成“已知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，你能发现哪些平面互相垂直？”类似上述方法，得到一个三条棱两两互

5、相垂直的四面体，如同墙角，因此，我们把它称为“墙角”模型.无论是“三节棍”模型还是“墙角”模型，都可以补成一个长方体模型来加以分析.例2(2009年泉州市质量检查)将长为3米的直铜线AD沿三等分点B、C折成三段（不断开），并使三线段AB、BC、CD所在直线两两垂直（如图）则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为米2本题中三条线段两两互相垂直，如同一条三节棍，因此，常把它称为“三节棍”模型，可以通过割补法，把它补成一个正方体模型，再利用正方体的对角线为其外接球的直径，可求得外接球的表面积为.例3　各个面都是正三角形的四面体，四个顶点都在一个表面积为的球面上

6、，那么这个四面体的体积为（）A.B.C.D.分析：本题的解法很多，若按常规思路，则此问题的解答较繁.通过分析已知条件，构造正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，其中四面体D1－AB1C符合条件.由外接球表面积为可得外接球半径为３，利用长方体的对角线为其外接球的直径，可得AB=BC=AA1=.∴.本题的推广：已知四面体的四个面都是边长分别是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积.评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的.例4（1986年高中数学联赛）如果四面体的每一个面都不是等腰三角形

7、，那么其长度不等的棱的条数最少为（）A.3B.4C.5D.6分析：本题的知识背景是：①四面体每相对棱相等的充要条件是，每个顶点处的三个面角之和为180o.②若四面体每相对棱相等，则四个面三角形都是锐角三角形.作为一个选择题，在特定条件下如何巧思妙解，避免“小题大做”？构造一个长、宽、高互不相等的长方体，再连结六条对角线，得四个面都不是等腰三角形，但四个面是全等的三角形其对就边恰为对棱，于是四面体ABCD的六条棱只取三个值，选A.例５（2008年高考海南宁夏卷·理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图

8、与俯视图中，这条棱的投影分别是长为的线段，则的最大值为（）A.B.C.4D.分析:本题以三视图为载体，考查考