分析随机数学-钱敏平，叶俊

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1、第一章随机事件与概率1第一章随机事件与概率§1样本空间与随机事件1随机现象自然界中有许多现象在一定条件下必然会发生。例如：同性电荷必然互相排斥，在标准大气压下水加热到100℃必然沸腾等等，这类现象称为确定性现象，在一定条件下，必然出现的结果称必然事件。必然事件的对立面是不可能事件。然而自然界中还存在大量的非确定性现象。例如观察某一商店每天来的顾客数与销售商品的数额都不是确定的；又如：正在放射α粒子的放射性物质，每天在同一规定的时间内放射的粒子数，事先无法确定，这类现象的共同点是：在基本条件保持不变的情况之下，可能出现这样的结果，时而又出现那样的结果，而且事先无法断言出现的究竟是哪一种结果，这

2、类现象就称为随机现象。2随机试验所谓随机试验。直观的讲，观察(或量测)在一定条件下随机现象出现的结果，即随机试验(简称试验)。进行一次试验就是在特定条件实现一次并观察其结果。在一次试验中，某个结果是否出现具有一定的偶然性。比如说，我们掷一次骰子，就可以看成是一次试验；因为掷骰子出现的点数是无法预先确定的，即试验的结果是偶然的、随机的。但许多实践早已证明：当进行大量的重复试验时，其结果就会出现某种固有规律性。例如，在投掷一枚质地均匀的硬币时，只投掷一次时，投掷的结果是正面还是反面是无法确定的，但当大量重复投掷硬币，就可以看到出现正面的次数约占总试验次数的一半。又如某人打靶射击，若射击次数不多，

3、靶上的弹着点似乎是随意分布的，但倘若进行大量的重复射击时，弹着点的分布就逐渐呈现规律性：它们大体上关于靶中心对称，靠近靶心的弹着点密，偏离靶心越远弹着点越稀少，且弹着点落在靶任意指定区域内的次数与射击次数n之比(频率)大体上保持稳定，且n越大，其频率稳定性就愈加明显，这种在大量重复试验中随机现象所呈现的固有规律，我们通常称之为统计规律。为了研究的方便，我们有时也会把具有固定结果的试验，看成是随机试验的极端情形。有时，又需要把几次试验作为一个整体合起来看成一次随机试验，例如：可以把连续掷三次骰子看成是一次随机试验。若试验具有下列共同特征：1)在相同的条件下，试验可重复进行；2第一章随机事件与概

4、率2)试验的一切可能结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。则称之为随机试验，简称试验，记作E或E1，E2等。例如：E1：掷一枚硬币，观察正面或反面出现的情况。E2：记录某一个服务台在8∶00～9∶00之间到来的顾客数。E3：在有噪声干扰的条件下，测量线路某一终端电压。3样本空间对于随机试验E，以ω表它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。即Ω={ω}。从集合论的观点看，样本空间Ω是由一切可能结果所构成的集合，而每个样本点ω是集合Ω中的元素。对于上面的随机试验有：E1：掷一枚硬币一次，观察出现正、反面的情况。则E1的样本

5、空间为Ω={ω1,ω2}；其中ω1表示出现的是正面，ω2表示出现的是反面，ω1与ω2分别为Ω的样本点。E2：服务台在8∶00～9∶00之间到来的顾客数，则Ω={n

6、n=0,1,2…}；可见Ω包含可列无穷多个样本点。E3：在有噪声干扰下，测量某终端电压，则Ω={x

7、x∈R}，其样本点有不可数无穷多个。注：在同样的试验条件下，由于试验的考察侧面与目的不同，可能选择不同的样本空间，这是初学者必须注意的。例如：E4：一枚硬币投掷两次观察出现正面的次数(注意此时投掷两次硬币才算完成一次实验)。Ω4={0,1,2}，其0,1,2分别表示出现正面的次数，共有3个样本点。E5：一枚硬币投掷两次观察出现正、反

8、面的次序，则Ω5={ωω，ωω′，ω′ω，ω′ω′}（其中：ω代表出现正面，ω′代表出现反面)，包含4个样本点。为了便于理解，以下仅限制样本空间Ω为可列集时，给出相应的概念。4随机事件为了便于直观理解，不妨在这一小节先设样本空间Ω={ω}为可列集。通常，对于某个随机试验来说，在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，就称为随机事件。我们用大写英文字母A、B、C、Ai等来表示。例如：在实验E1中，A1={ω1}表示出现正面这一事件，A2={ω2}表示出现反面这一事件。A1，A2都是事件。在E2中，A={n

9、0≤n≤10}表示在8∶00～9∶00之间出现的顾客数不超过10人这一事件。在E5中，A=

10、{ωω，ω’ω)表示掷第二次出现的是正面这事件。在引入了样本空间的定义后，即从集合论的观点看：粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件。第一章随机事件与概率3对于事件A⊂Ω，若Ω中的某一样本点ω(∈Ａ)在本次实验中出现了，则称该次试验中事件A发生。若ω∉A，即ω在本次实验中没有出现，则称该次试验中A不发生。从随机事件的定义可以看出随机事件包含着两个极端情形。其一是在任何一次试验中必然出现的事件，称为必然事件。由