走一趟高中机率教学之旅

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1、數學傳播32卷4期,pp.33-50走一趟高中機率教學之旅丁村成記得1999年在一次機率統計的教材研討會上,高中教師與教科書作者面對面討論課程內容。有一位老師在會中提出一個問題:「課本在排列組合單元中擲兩粒公正骰子之出現情形,依照重複組合的觀點來看有H6=C7=21種,但到了古典機率單元中投擲兩粒公正骰子的樣本22點個數,卻採用重複排列的方法來算有62=36種。為什麼同一本教科書上會有這種自相矛盾的說法呢?」當時筆者是以教科書作者的身份出席,經過這次會議才猛然發現古典機率的教學當中,處處都可能存在這種類似的迷思概念(misconception)。最令

2、我感到訝異的是在2005年的教師甄選中,有65位具有碩士學位以上的準教師參加考試,筆者出了一道甄選試題如下:「將4個球全部放入5個箱子,問每個箱子最多有一球的機率是多少?」在課堂中若有學生希望您考慮下列四種情形來解答這一道題,請說明您要如何指導學生讓他們瞭解以下各題的機率?(1)顏色不同的球放入編號不同的箱子(2)完全相同的球放入編號不同的箱子(3)顏色不同的球放入完全相同的箱子(4)完全相同的球放入完全相同的箱子在65位教師的答案中答對者僅有4位,佔6.2%;答錯者竟有51位,佔78.4%;完全空白者有10位,佔15.4%。在答錯的51位老師之解答

3、中,有36位採用各種排列組合的觀點來思考樣本空間,有15位所給答案出現了一些答非所問的情形。從這次甄選教師的年齡層來看,其分佈介於26歲∼50歲之間,顯示古典機率教學的盲點是普遍存在的。一個存在高中教材三十年之單元有著如此大的問題,值得台灣數學教育界一同深思。筆者為了探討此問題的癥結所在,於是開啟了這趟漫長的機率教學之旅。一.旅行出發之前的準備機率概念是用來測量我們所關心事情可能發生程度大小的一種指標,Shaughnessy(1992)3334數學傳播32卷4期民97年12月認為機率包含有統計的隨機事件(randomevent)與經驗的可信程度(de

4、greeofbelief)。根據文獻上的討論,其意義大致上可分為四種(Hawkins&Kapadia,1984;Konold,1991;Shaughnessy,1992andKoirala,1998):古典機率(classicalprobability),頻率機率(fre-quentistprobability),主觀機率(subjectiveprobability),形式機率(formalprobability)。簡單說明如下:1.頻率機率這種機率的計算是由觀察重複試驗之相對次數而來,亦即是根據實驗設計之觀察結果來決定事件發生的可能大小,所以也被稱

5、為實驗機率(experimentalprobability)。王幼軍(2007)指出,機率論公理化的系統最早出現在馮·密歇斯(R.vonMises)的機率論基礎研究一書中,他覺得在那時候的機率論還不能稱得上是一門數學,為了把機率論改造成一門數學學科,於是將機率建立在具有隨機性質的序列基礎上,也就是把機率定義為相對頻率的極限。馮·密歇斯曾將此種機率定義為:若重複一個試驗n次某一結果A出現的次數為nA,當n增加時相對nAnA次數會趨近於實數P(A),我們稱P(A)為事件A發生的機率,亦即P(A)=limnn→∞n(引自Borovcniketal.1991

6、)。用這種方法雖然可以處理很多事件的機率,但通常必須對所要研究的對象作長期觀測,或者重複比較多次試驗才能得到較為正確的機率,此一觀點結合大數法則(thelawoflargenumber)的概念在現行國中小學機率教材是相當重要的部分。2.古典機率設S是由有限個樣本點所組成的樣本空間且每一樣本點出現之機會均等(equallylikely),則事件A在其樣本空間S中之機率P(A)定義為A的樣本點個數n(A)與S的樣本點個n(A)數n(S)之比值,亦即P(A)=。此一定義是法國數學家拉普拉斯(Laplace)於1812n(S)年,在其所著機率的分析理論(Th

7、´eorieAnalytiquedesprobabilit´es)一書中的記載,他最初下的定義是「所求事件的次數占全部可能事件總數之比例」(Koirala,1998)。這是機率發展史上第一次清晰的給出機率的定義,所以又被稱為古典機率(Borovcnik&Kapadia,1991)。在定義中假設樣本空間S是由有限個基本事件所構成,並規定在試驗中每個基本事件出現機會均等,此一規定是古典機率非常重要的基礎條件,在這個條件下之機率計算只須用到排列組合,其優點是計算方便而且直觀,因此構成目前高中機率教材的主要內容。3.主觀機率當一隨機試驗不能重複進行的時候,事

8、件A發生的機率可定義為個人對事件A發生的相信程度,此相信程度往往會因人而異,這是20世紀發展出來的主觀機率。