投入产出模型在对某地区作经济分析时,先把该地区分为若干

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1、投入产出模型在对某地区作经济分析时，先把该地区分为若干个部门投入----各个经济部门在进行经济活动时的消耗。例如：原材料，设备，能源等。产出——各经济部门在进行经济活动时的成果。如，产品投入产出模型——反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型。投入产出模型是由美国经济学家列昂节夫(WassilyLeontief)于1936年创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖。投入产出模型由平衡表与平衡方程构成，分为价值型和实物型。价值型投入产出平衡表。1.概念投入产出表通常是以年度为单

2、位编制的。规模可以是全国，也可以是某地区或某企业。最终产品——本年内不再加工，可直接提供给人们消费或积累或出口的产品。纯收入——利税净产值——劳动报酬与纯收入之和。也即总产值减去中间消耗。价值型——以货币单位为计量单位的表。总产品=总产值2.表的构成：１投入产出平衡表主要由三大部分组成(1)部门间流量xij把国民经济分解为n个部门，每个部门都有双重身分。一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品。另方面，它的产品也要分配给各部门使用。用xij表示部门j在本年度生产过程中对部门i的产品的消耗量。也即

3、是本年内部门i分配给部门j的产品量。称为部门间流量。(2)最终产品yiyi表示部门i的总产值扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量。(3)净产值Zj设部门j的劳动报酬为vj，纯收入为mj，则zjvjmj(4)部门j的总产值为xj，j=1，2，……，n3.平衡方程n（1）分配平衡方程xijyixii=1，2，……，n,(6.1)j1反映部门i的分配情况n（2）消耗平衡方程xijzjxjj=1，2，……，n,(6.2)i1反映部门ｊ的消耗情况mnyz（3）综合平衡方程i

4、j(6.3)这可由上两方程而得i1j1直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念。部门j所生产的单位价值的产品对部门i的产品的直接消耗量为xijai，j=1,2,3……,n(6.4)ijxj称为部门j对部门i的直接消耗系数，而A(aij)nn称为直接消耗系数矩阵，从(6.4)得xijaijxj，把它代入(6.1)得(6.5)naijxjyixii=1,2,3….,n(6.5)j1２TT设X(x,x,...,x),Y(y,y,...,y)

5、,得AX+Y=X12n12n即(I-A)X=Y(6.6)再由(6.2)得n(aij)xj+zj=xjj=1,2…..,n(6.7)i1nzj1-aij=>0(6.8)i1xjn可见aij具有性质：(1)0aij1，(2)aij1(j=1,2,..,n)i1即A矩阵列和小于1.以下我们证明一个结论，1命题1：IA必存在.命题1证明：(反证法)设

6、I-A

7、=0，则I-A各行向量线性相关从而有不全为0的系数d,d,.....,d，使12n1a11.a1k...a1n

8、....d,d,..d,d0,0,..,012kna.1a.ak1kk.kna.a..1an1nknn令dkmax{di,1in}，则dk0(di不全为0)上述方程组中第k个方程为dada.....d1a....da011k22kkkknnkn解出dkaikdii1nnnndkaikdiaikdidkaikdk(aik1)i1i1i1i1dd1kk，矛盾，说明IA0，IA必存

9、在。证毕。从而(6.6)可写成1XIAY(6.10)模型(6.10)的作用此式当然是已知A与Y，求X，但你可能会说必须先有X才能求出A.通常的做法是利用上一年的直接消耗系数矩阵A略作修改(常用RAS方法修改A)后，作为本年度的A，再给出本年度的最终需求Y，进而求出本年度各部门的总产值３X，以此为生产计划的依据。完全消耗系数我们先来指出一个结论1命题2设C(IA)I.则C0.（即每个元素非负）命题2证明1由(6.10),X(IA)Y(CI)YCYYT特别令Y

10、(00100)设C(C)kjnnj00C1j0C1j000Ckj(kj)则XCkj11Ckj1即XK000Cjj1(kj)Cnj000Cnj定义一个矩阵函数nf(A)maxaij(即求出矩阵A的列和的最大值)ji122则f(A)max(aikakj)max(