对全概率公式及其应用的讨论

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1、第22卷第4期武汉水利电力大学(宜昌)学报Vol.22No.42000年12月J.ofUniv.ofHydr.&Elec.Eng./YichangDec.20003对全概率公式及其应用的讨论杨元启(湖北三峡学院)摘要指出了全概率公式、条件概率及贝叶斯公式在实际应用中与其理论上的矛盾,从应用的角度重新叙述并精确论证了这些公式,弥补了原理论上的不足.关键词全概率公式;转移概率;概率空间;条件概率分类号O211.61问题的提出全概率公式、条件概率及贝叶斯公式是概率论中的几个基本公式,在一般教材中,全概率公式的内容如下:∞(Ω,F,P)为一概率空间,{A1:i∈N}<

2、F(N表示自然数全体)Ai,i=1,2,3⋯互不相容,且∪Ai=i=1∞∞Ω,则PB∈F,均有:P(B)=6P(AiB)=6P(Ai)P(B

3、Ai)i=1i=1这一公式在讨论相依的随机试验时是很有用的,举例如下:甲盒中有a个白球,b个黑球,乙盒中有c个白球,d个黑球,a,b,c,d均为整数,从甲盒中任意取一球放入乙盒,然后再从乙盒中任意取一球,问从乙盒中取出的球是白球的概率是多少?设H1={从甲盒中取出的球为白球},H2={从甲盒中取出的球为黑球},A={从乙盒中取出的球为白球},B={从乙盒中取出的球为黑球}1abc+1则H1∩H2=É,H1∪H2=Ω,P(

4、H1)=,P(H2)=,P(A

5、H1)=,P(A

6、H1)=a+ba+bc+d+1c,由全概率公式得c+d+1ac+bc+aP(A)=P(AH1)+P(AH2)=P(H1)P(A

7、H1)+P(H2)P(A

8、H2)=(a+b)(c+d+1)在上述解题过程中,Ω是什么?P是什么?是经不起推敲的,若试图将它们写出来,可这样理解:随机试验E应看作复合试验E=E1×E2,其中,E1为从甲盒中取一球,E2为从乙盒中取一球,E1与E2是相依的1E1、E2对应的概率空间分别为(Ω1,F1,P1)及(Ω2,F2,P2),其中Ω1={H1,H2},F1={É,Ω1,H1,abH2}

9、,P1(H1)=,P1(H2)=,Ω2={A,B},F2={É,Ω2,A,B},P2正是我们想要求的,根据前面a+ba+b解法P2(A)=P(H1A)+P(H2A)=P1(H1)P(A

10、H1)+P1(H2)P(A

11、H2)上式中,P(·)是没有定义的,A与H1及H2也分属不同的事件域,因此上式是无意义的13湖北省教委青年发展项目(98B016)收稿日期:2000211201杨元启,硕士,讲师,主要从事随机过程、随机分形的教学与研究1湖北三峡学院数学系(443000)©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishin

12、gHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第22卷第4期杨元启对全概率公式及其应用的讨论3512全概率公式定义1(Ω1,F1)及(Ω2,F2)为2个可测空间,函数K(·,·):Ω1×F2→[011]称为由(Ω1,F1)到(Ω2,F2)的转移概率,如果它满足条件:(1)Pω∈Ω,K(ω,·)是(Ω2,F2)上的概率测度;(2)PB∈F2,K(·,B)是Ω1上F1一可测函数1引理1设K是由{Ω1,F1}到{Ω2,F2}的一个转移概率,P1为{Ω1,F1}上的一概率测度,则有:(1)令P2(B)=∫ΩK(ω,B)P1(d

13、ω),B∈F2,则P2为(Ω2,F2)上的概率测度;1(2)令P(E)=∫ΩK(ω,Eω)P1(dω)=∫Ω∫ΩIE(ω,δ)K(ω,dδ)P1(dω),E∈F1×F2,则P为(Ω1112×Ω2,F1×F2)上的概率测度11(ω,δ)∈E式中Eω={δ∈Ω2:(ω,δ)∈E}IE(ω,δ)=0(ω,δ)

14、E证参见文献[4]第四章§31∞定理1(全概率公式)在引理1的条件下,设{Ai}i≥1

15、=Ω1,i≠j时,Ai∩Aj=É,易知i=1∞∫K(ω,B)P1(dω)=6K(ω,B)P1(dω)(1)Ω∫A1i=1in事实上,B∈F2固定时,K(ω,B)=limK(ω,B)6IA(ω),由单调收敛定理知(1)成立,又由于PA∈F1,n→∞i=11Bω∈A(A×B)ω=,于是Éω∈AP(A×B)=∫K(ω,(A×B)ω)P1(dω)=K(ω,B)P1(dω)(2)Ω∫A1∞∞故P2(B)=∫K(ω,B)P1(dω)=6K(ω,B)P1(dω)=6P(Ai×B)Ω∫A1i=11i=1注:(1)若随机试验E1、E2独立,则P2(B)=K(ω,B)(Pω∈Ω1

16、,B∈F2);(2)A∈F1,B∈F2