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1、浅谈全概率公式及其应用作者：王托洛夫斯基文帅酷之健指导教师:Yangjinying摘要：本文分析了全概率公式的直观意义，介绍了使用全概率公式时寻找完备事件组的两种方法，并通过实例阐述了全概率公式在解决实际问题屮的应用。关键字：全概率公式；完备事件组；应用；样本空间引言：概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A,如果能找到一件伴随事件人发生的完备事件组目，场，…，而计算各个色的概率与条件概率P(Ald)相对又要容易些，这是为了计算与事件A有关的概率，可能需要是用全概率公式，本
2、文就全概率公式及其应用做了详细的叙述。全概率公式及直观意义全概率公式，又称全概公式，是指p(B)=Xm)^iA)/=!它实质上是一种分解式，若注意到p(ajp(bs)=p(ba)则求P(B)的问题就转化为P(B4)+P(BA?)+P(陋)+・・・+这里B4，BA，B九，・・・，B入两两互斥，注意到陋U陋U・・・U曲=fi(UA)Z=1就应有A，A2,A3,—,A”两两互斥，且Cmt于是a2,£心就成为一个完备事件组，这个完备事件组分割了事件〃，从而求P(B)的问题最后归结为找一个合适的完备事件组的问题,因此当事件B比较复杂，直接［十算P(B)比较难时，设法找一个完
3、备事件组A2,A3,…，&「使B=然后分别求岀P(B4),再相加，即可求出P(B)/=,全概率公式的直观意义是：某事件B发生的各种可能原因40=1,2,3,…，斤)并且这些原因两两不能同时发生，如果B是由原因A,•所引起的,则B发生时，BA/必同吋发生，因而P（B）与P（BAJ有关（z=1,2,3,…，励，且等于其总和£p（ba）=£p（a）p（bi4）Z=1/=1全概率的“全”就是总和的含义，当然这个总和要能求出来，需已知概率P（创4）0=1,2,3,…，砒，通俗地说，事件B发生的可能性，就是其诸原因4发生的可能性与4发生的条件下事件b发生的可能性的乘积之和。二
4、.寻找完备事件组的两种方法方法一:从第一个试验入手，分解其样本空间，找出完备事件组。如果所求概率的事件与前后两个试验有关，且这两个试验彼此有关联，第一个试验的各个结果对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这些问题，即可用全概率公式求解。此时，通常将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和，这些事件就是所求的一个完备事件组。例1・假设有两个同种零件：第一箱内装50件，其屮10件一等品；第二箱内装30件，其屮18件一等品。现从两箱屮随意挑出一箱，然后从该箱屮随机取出两个零件，试求：取出的零件均是一等品的概率P；解引进下列事件:4•二｛被挑出的
5、是第i箱｝（心1,2）3二｛取出的零件是一等品｝有条件知p(bia)=
6、，P(B
7、A2)=
8、由全概率公式，知P(B)=P(AJP(B
9、4)+P(A?)P(B
10、4)_111322525~5方法二从事件B发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组。如果事件B能且只能在“原因”A，A2,入，…，&下发生，且人，a2,血，…，&两两互不相容，那么这些“原因”4,a2,a3,…，4就是一个完备事件组。例2.采购员要购买10个一包的电器元件。他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个原件都是好的，他才买下这一包。假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含有1个次品。求采购
11、员拒绝购买的概率。解：记£二｛取到的是含4个次品的包｝,%二｛取到的是含1个次品的包｝，〃二｛采购员拒绝购买｝则%构成样本空间的一个正划分，且P(A)二0・3,P(A2)=0.7,又由古典概型计算知P(BAl)=l-^=-p(B
12、AJ=1一吳=丄Ct306丿10从而由全概率公式得到23503573P(B)=P(A)P(B
13、A)+P(A2)P(B
14、A2)=-.-+-.-上述例题介绍了全概率公式寻找完备事件组的两种方法，对于以上这种简单事件，需先找出完备事件组，然后直接应用全概率公式就可求出我们所需的结果。三、全概率公式的应用在全概率公式的应用中，主要会有四个方面的
15、应用：赌徒输光问题、抛掷不均匀硬币问题、随机分流的不变性、保险公司的索赔额模型。这些应用不仅仅是全概率公式的简单应用，还会与其他知识相结合，例如差分方程,递推计算等。这些知识的结合有效地将全概率公式得到广泛应用。1•赌徒输光问题例3.设甲有赌本K41)元，其对手乙有赌本a-i>0元。每赌一次甲以概率°赢一元，而乙以概率q=l~p输一元。假定不欠不借，赌博一直到甲乙有一人输光才结束。因此，两个人中的赢者最终有赌资。元。求甲输光的概率。解：一般地，我们以口记甲有赌本，元而最终输光的概率，而求此概率的关键是给出下面的事件关系式，其方法称为首步分析法，记事件A=｛甲有赌本
16、i元，但最
