初等数论习题课

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1、初等数论习题课张神星摘要.本文为2016年春中国科学院大学课程《初等数论》习题课讲义,课程所用教材为《华罗庚文集数论卷II》的《数论导引》.本文中所用记号:•vp(x)表示非零有理数x的素数p幂次;•pe∥n表示pe

2、n且pe+1-n;•µ表示Mobiüs函数;•#表示集合的大小;•N,Z,Q,R,C,Fp分别表示自然数集,整数环,有理数域,实数域,复数域,p元有限域.第一章整数之分解1.1由于[α]6α<[α]+1=⇒n[α]6nα

3、α]故=[α].n1.2设k=[nα]−n[α],则kk+16α−[α]<,06k6n−1,nn于是k+iik+i+1[α]+6α+<[α]+.nnn因此[]{i[α],若in−k.日期2016年7月1日.12张神星故[][]1n−1[α]+α++···+α+=n[α]+k=[nα].nn1.3设x=α−[α],y=β−[β],则([2α]+[2β])−([α]+[α+β]+[β])=[2x]+[2y]−[x+y].若x>1或y>1,则[2x]+[2y]>1>[x+y];若x,y均<1,则222x+y<1,[2x]+[2y]−

4、[x+y]=0.综上所述[2α+2β]>[α]+[α+β]+[β].4补充设a>1,m,n为正整数,证明(am−1,an−1)=a(m,n)−1.证明.利用辗转相除法，我们有m=nq0+r0,0

5、+···+1)+ark−1;ark−1−1=(ark−1)(ark(qk+1−1)+···+1),因此(am−1,an−1)=ark−1=a(m,n)−1.另证.我们对m+n归纳.若m+n=2,显然.假设命题对于m+n6k−1成立.对于m+n=k,不妨设m>n.若n=0或m=n,显然成立;否则0

6、ps,ei,k>0.则∑nvpi(a1···an)=ei,kk=1∑nvpi(a1···aj−1aj+1···an)=ei,k−ei,jk=1∑n∑nvpi(右边)=ei,k−max{ei,k−ei,j}=min{ei,j}=vpi(左边).jjk=1k=1因此两边相等.8.2由于n=bcx+cay+abz=bc(x+at+as)+ca(y−bs)+ab(z−ct),我们不妨设06y=.bcbcbc若n>2abc−ac−ab−bc,则上式大于−1,因此必然>0

7、.也就是说,任意大于2abc−ab−bc−ca的整数n均可由此表出.若n=2abc−ab−bc−ca=bcx+cay+abz,则bc(x+1)+ca(y+1)+ab(z+1)=2abc.若x,y,z>0,则x+1,y+1,z+1>1且a

8、x+1,b

9、y+1,c

10、z+1,因此x+1>a,y+1>b,z+1>c,bc(x+1)+ca(y+1)+ab(z+1)>3abc,这不可能!8.3设该方程的解数为an,则我们有1f(T)=(1−T)(1−T2)(1−T3)22436=(1+T+T+···)(1+T+T+···)(1+T+T+···)∑∑x+2y+3zn=T=an

11、T.x,y,z>0n4张神星通过待定系数,我们有f(T)1117111=++++(6(1−T)34(1−T)272(1−T)8(1+T)91−ωT1+)1−ωT¯∑1(n+1)(n+2)117(−1)n22nπn=(+(n+1)+++cos)T62472893n∑(n+3)27(−1)n22nπn=(−++cos)T.1272893n∏s9.2设n=pei,则ii=1∏∏e1∏e2∏es∏sd=···pxiid

12、nx1=0x2=0xs=0i=1∏s∏ei=(pxi)τ(n)/(ei+1)ii=1xi=0∏s=pτ(n)ei/2=n2,ii=1∏s其中τ(n)=(

13、ei+1)为n的正因子个