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1、第31卷第8期中学物理教学参考Vol.31No.82002年8月PhysicsTeachinginMiddleSchools.2002竞赛辅导关于不确定关系沈晨(浙江省宁波效实中学315010)一、测不准关系的概念根据惠更斯原理,在单缝所在处的波面AB上的各点不确定关系也叫做测不准关系,它是量子力学中波源向各个方向发射新的子波,这些波经传播而在空的一个极其重要而又基本的关系.在经典力学中,运动间叠加,并可产生干涉现象.若将波面AB可分割成两物体具有确定的轨道,任一时刻物体的运动状态可用D个面积相同、宽度为的波带AA1、A1B,两波带上任2在该轨道上确定的位置和动量来描述,我们可以通过何两个对应
2、点,如图中AA1带上的G点和A1B带上实验手段来精确测定.然而对微观客体,由于具有波粒D二象性,微观粒子有别于宏观物体:宏观物体在某一时的G1点所发出的光线的光程差为l1-l2=sinφ,2刻对应一确定位置,形成一条运动轨道,由运动轨道可D衍射角φ是子波波线与入射平行光所成的角度,当求出每个瞬时的动量;微观粒子在各个时刻出现在什2sinφ么位置是不确定的,是随机的,我们只能用几率形式来λ表示微观粒子的状态,我们可以描述的只是粒子在空=±(2n-1),n=1,2,3⋯⋯时,两波到达屏上时反2间各点出现的几率,及其动量在某一范围内的几率.即相,叠加时完全抵消,屏上依次出现第一级暗纹、第二对于微观粒
3、子而言,确定其位置所达到的精确度ΔxDλ级暗纹⋯⋯;当sinφ=2n·,n=0,1,2,⋯⋯时,和同时测量其动量所达到的精确度Δpx是受到限制22的,这个限制是两波到达屏上时同相,叠加时加强,屏上依次出现中央Δx·Δpx≥h.明纹及其它各级明纹.由上述可知,中央明纹在两个一这就是海森伯“不确定关系”的数学表达式.其意级暗纹之间的区域时,有λ义是:用经典力学的物理量来描述微观粒子,只能在这sinφ≤
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5、.D样的近似程度内———粒子在某一方向上位置的不准量和在这方向上动量的不准量的乘积将大于或等于h.三、测不准关系的推论下面我们对这一关系作出论证.为使所涉及知识不超出“竞赛提要”而易于参赛学生接受
6、,某些细节会采取模糊处理.首先,我们研究较为熟悉的波的单缝衍图2再来看看微观粒子,例如电子的单缝衍射.如图2所示,设有一束电子以速度v沿Oy方向射向狭缝AB,在屏上可以观察到与伦琴射线衍射图样并无二致的电子衍射图样,这正是电子波动性的表现,所谓“明纹”是电子到达几率大的区域,而“暗纹”则是电子到达几率小的区域.根据上面推得结论,考虑零级最大与第图1一级最小之间满足的条件,即射.如图1所示为单缝衍射实验装置示意图,K为单λsinφ=.缝,缝宽为D,设平行光(平面波)垂直于单缝K入射,d·54·©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHo
7、use.Allrightsreserved.http://www.cnki.net这里的λ应是物质波波长,即λ=h/p.RΔy=a,Δpy=psinθ,sinθ≈,L现在我们想对电子的行为作经典的描述,试图同时确定位置x和动量p.在电子通过狭缝的瞬时,电子θ为电子衍射角.根据不确定关系Δy·Δpy=h,则在Ox方向上的位置由于缝的限制而被局域于狭缝之a·h·R=h,λL间,它的位置的x坐标不可能超出缝宽d,或者说位置Lλ测量的不确定性不可能超出d,用Δx表示决定电子R=a,在Ox方向上的位置的不确定量,那么由图3可得亮点的直径可表Δx=d.示为此时,由于衍射,电子速度的方向有了变化,动量Lλ图
8、3D=a+2,p沿x轴方向的分量px介于零与psinφ之间,即0≤apx≤psinφ,所以电子在x轴方向上的动量测量的不Lλ当a=2,即a=2Lλ时,D有最大值,则a确定性不会超过psinφ,用Δpx表示电子动量沿x轴Dmax=22Lλ.方向的不确定量,有λ对于题给Ek=150eV的电子能量,不考虑相对论效Δpx=psinφ=p,d应,可得电子波长为λhh上式中sinφ=,λ=,可得λ=,dp2mEkhhΔpx=p=,-34dpΔx2×6.63×10则Dmax=2m-31-19于是有Δx·Δp=h.2×9.1×10×150×1.6×10-5如果把所有次级即电子所有可能到达几率考虑在=2.8×1
9、0m≈28μm.内,则有下面提供的例2(第32届IPhO赛题)与例1有异Δx·Δp≥h.曲同工之妙,同学们不妨一试:不确定关系告诉我们,动量和位置的不确定度的例2如图4所乘积在数值上近似等于普朗克常量,这与经典理论不示,将炉子中的一群原同,不可能同时确定微观粒子的位置与动量,也就是子加热到某一温度说,不可能在粒子位置确定(Δx=0)的情况下赋予粒T,并让这些原子沿水子确定的动量(Δp=0),假如有
