概率论与数理统计期末练习题参考答案1

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1、概率论与数理统计期末练习题（2011.12）姓名参考答案1．袋中有4个白球，6个黑球；从袋中任取3个球，并记{取到2个白球和1个黑球}，求概率．题型：古典概率。2．已知，，，求条件概率．题型：条件概率，加法公式；3．设随机变量的概率分布为，为常数，，求的值．（因，得）4．若事件和满足，则和独立．证：因14化简得：，故和独立.5．将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，被误作的概率为，而被误作的概率为，信息与信息传递的频繁程度为，求（1）接收站收到的信息是的概率；（2）若接收站收到的信息是，求

2、原发信息是的概率．题型：全概率公式与贝叶斯公式（1）接收站收到的信息是的概率（2）若接收站收到的信息是，则原发信息是的概率．6．设随机变量，已知，，，求的值．题型：正态分布化为标准正态分布；若，则解：因14得7．设随机变量服从的均匀分布，服从参数为的泊松分布，服从分布，且，，相互独立，求方差．题型：用重要分布的期望或方差，性质，求方差（或期望）解：由题意（方差的性质），（用到均匀分布的方差为；泊松分布的方差为，正态分布的方差）8．设随机变量服从指数分布，即其概率密度为，服从的的二项分布，X与Y的

3、相关系数为，求.解：因14（性质）（用到指数分布的方差=，二项分布的方差=；）9．设随机变量的概率密度函数为，求(1)常数；（2）的分布函数；（3）概率．题型：一维连续型随机变量的题型解：（1）因，得，（2）的分布函数（3）概率14思考：求期望，方差10．随机变量的分布律为01200．250．10（1）试确定常数；（2）的分布函数；（3）求概率.解：（1）常数（2）的分布函数（3）概率11.设二维随机变量的概率密度为（1）求常数；14（2）求关于和关于的边缘概率密度；并问与是否相互独立？（3）求

4、概率.解：(1);即，得（2）关于的边缘概率密度==关于的边缘概率密度:==显然当时;所以与不相互独立.(3)==14（或=+）=12.设随机变量的概率分布律为：XY012-10.30.10.210.10.30求：（1）关于和的边缘分布律；（2）关于的分布律；（3），，协方差.解：（1）关于的边缘分布律:0120.40.40.2关于的边缘分布律：-110.60.414（2）因的取值为故的取值为:00-11-22所以的分布律为-2-10120.20.10.40,30（3）故故13．设随机变量相互独

5、立，且都服从相同的指数分布，概率密度函数为，试用中心极限定理14求概率的近似值.（结果用标准正态分布函数表示）题型：中心极限定理，近似公式：期望，为均方差解：由题意，，由中心极限定理概率14.设是来自总体的样本，（1）证明：；；是总体均值的无偏估计量；（2）说明哪一个估计较有效？（需说明理由）证（1）因14同理，，故是总体均值的无偏估计量解：（2）同理比较大小，得较有效15.设总体具有概率密度,其中是未知参数.又为来自该总体的一个样本，为样本值.试求未知参数的矩估计量与最大似然估计量.14题型：

6、参数估计（点估计）解：（1）求矩估计因令，得，故参数的矩估计量为.（2）似然函数（注：，连乘）取对数（注：）14令，得故的最大似然估计量为.（注：为大写）16.设某种清漆的干燥时间服从正态分布，现随机地抽取9个样品，测得干燥时间的均值（小时），样本均方差，为未知，求的置信水平为95%的置信区间．(,,精确到第二位小数).题型：关于总体均值的置信区间（为未知）解：这里，故的置信水平为95%的置信区间为：即置信区间为17．某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取5件，测得样本方差14，问根据这

7、一数据能否推断该批产品的方差较以往的有显著的变化？(取显著性水平)（即检验假设：）（，，，）解：由题意，需检验假设：；拒绝域为：；计算：，在拒绝域内，即可以认为方差是不正常。18.设随机变量，的概率密度为，且相互独立。求的密度函数．解：由题意随机变量的密度函数为14随机变量的概率密度为：考虑区域：得：14