排列组合问题的非常规解题数学思想方法1

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1、排列组合问题的非常规解题数学思想方法分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁．针对该现象本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路．一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?解法一:如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:→↑→↑↑→→→↑→→其中必有四个↑和七个→组成!所以,四个↑和七个→一个排序

2、就对应一条路经,所以从A到B只能上行或右行共有条不同的路径.解法二:设表示经过第i列的水平路段;设表示经过第j行的竖直路段;如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:可以看出这是与的一个分别顺序一定的排列,而且一个这样的排列对应一条路径.所以从A到B只能上行或右行共有条不同的路径.二.分类讨论思想例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。           解法一：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，按一下分类进行：先将两个

3、黄格■■插入到两个红格■■的两端或中间，有5种情况:■■■■，■■■■，■■■■，■■■■，■■■■，■■■■，再将两个蓝格分别插入到四个红黄间隔的的两端或中间，有4+1+1+10+10+4=30种方法；所以，共有30种涂法。解方法二：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类：123456第一类可按一下步骤进行：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2种方法。第5步：用不同的两色涂剩下的两格，

4、有2种方法；所以有3*2*1*2*2＝24种第二类可按一下步骤进行：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格相同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法。第5步：第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1种方法；所以有3*2*1*1*1＝6种所以，共有24+6＝30种涂法。解方法三：分成如下四类：第1类：□■□■■■1，3同色有3种颜色可选，剩余的四格必须2，5同色有2种颜色可选，共有6种涂法；第二类：□■■□■■1，4同色有3种

5、颜色可选，剩余的四格必须2，3各涂1色有2种颜色可选，5，6各涂1色有2种颜色可选，共有12种涂法；第三类：□■■■□■1，5同色有3种颜色可选，剩余的四格必须3，6同色有2种颜色可选，共有6种涂法；第四类：□■■■■□1，6同色有3种颜色可选，剩余的四格必须2，4同色有2种颜色可选，共有6种涂法；所以，共有6+12+6+6+6＝30种涂法三．方程不等式思想例3．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？例4．将10个完全相同的小球

6、放入编号为1,2,3的三个盒子内，要求放入盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A20种B15种C14种D12种解：设编号为1,2,3的三个盒子中分别放入x,y,z个小球，于是题中不同的放法即为方程:x+y+z=10,且x≥1,y≥2,z≥3的非负整数解的个数．令u=x-1,v=y-2,w=z-3，得u+v+w=4,所以该方程的非负整数解的个数即为所求的放法数目C，故选B．四.模型构造思想例5.证明：。证明：原式左端可看成一个班有个同学，从中选出个同学组成兴趣小组，在选出的个同学中，个同学参加数学兴趣小组，余下

7、的个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组，在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例6.方程的非负整数解的组数是多少？分析：设则原题即转换为有多少正整数解。可由抽象到具体建立如下模型：将12个小球排成一列，在它们两之间形成的缝隙中任意插入3块木板，则把这12个球分成4组，而这4组的数目即为即原方程的非负整数解是：（组）.五.“正难则反”的思想解决问题，当正面难以解决时，不妨从反面、侧面思考，顺繁则逆、正难则反．例

8、7．有五张卡片，他们的正反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解析：（1）0不能作百位，但可以作十位或个位．（2）0与1在同张卡片上，因此直接分类既要考虑0又要考虑1分类较复杂．于是先不考虑任何情况算出总数，然后减去0在左边第一位的号码即为所求．由于任取