2014高考数学备考学案(文科)能力提升生活中的优化问题举例

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1、第27课生活中的优化问题举例1．（2012江门一模）某产品生产成本与产量（）的函数关系式为，销售单价与产量的函数关系式为．（1）产量为何值时，利润最大？（2）产量为何值时，每件产品的平均利润最大？【解析】（1）销售收入．利润（）．．∴产量时，利润最大．（2）每件产品的平均利润．．令，解得得．∵当时，，单调递增；当时，，单调递减．∵，且，∴产量时，每件产品的平均利润最大．答：当产量时，每件产品的平均利润最大．42．（2011福建高考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商

2、品千克。　　（1）求的值　　（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解析】（1）∵时，，由函数式，得，∴．（2）由（1）知，∴每日的销售量为，．每日销售该商品所获得的利润为，．．于是，当变化时，，的变化情况如下表：（3,4）4（4,6）0极大值由上表可以看出，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点．∴当时，函数取得最大值．因此当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．43．（2012西城一模）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．（1）求面积以为自变量的函数式；（2）若，其中为常

3、数，且，求的最大值．【解析】（1）依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为．点的横坐标满足方程，解得，舍去．∴．由点在第一象限，得．∴关于的函数式为，．（2）由及，得．记，则．令，得．①若，即时，与的变化情况如下：↗极大值↘∴当时，取得最大值，且最大值为．②若，即时，恒成立，∴的最大值为．综上，时，的最大值为；4时，的最大值为．4．（2011江苏高考）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm．

4、（1）若广告商要求包装盒侧面积（cm）最大，试问应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【解析】（1）根据题意有,∴包装盒侧面积最大．（2）根据题意有，∴，当时，当时，递增；当时，递减，∴当时，取极大值也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比值为．即包装盒容积（cm）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为．4