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1、极限的概念2.1极限概念(limit)极限概念是微积分的基本概念。也是微积分学研究的基本工具.后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。极限是研究函数的一种重要的方法。极限是描述变量在某个变化过程中的变化趋势。2.1极限概念(limit)简单说：现代日常生活中人们常用这种变化趋势来判断事物的发展趋势。2.1极限的概念2.1极限的概念【古代极限思想】庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。2.1极限的概念三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至
2、于不可割，则与圆周和体而无所失矣”圆内接正六边形圆内接正十二边形圆内接下24边形边长越多，正多边形的周长越接近圆的周长【古代极限应用】2.1.1数列的极限(limitofsequence)数列的定义：数列按照一定规律有次序排列的一串数简记（数列也可看作是定义在正整数集合上的函数=f(n)n=1,2,…）称为数列的通项或一般项。例如：记作：记作：记作：数列的极限考察当n→∞时，通项xn的变化趋势。数列极限的实质：随着项数n的变化,通项xn的变化趋势也就是例 如,趋势不定数列的极限定义：则称常数为该数列的极限。记作或（lim来自于英文单词“limit”—
3、—极限）给定一个数列如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于某个固定的常数A常数0称为此数列的极限记作：例：→0极限不存在→∞例：收敛发散如果一个数列的极限存在,则称该数列是收敛(converge)；如果一个数列的极限不存在,则称该数列是发散(diverge)。1课堂练习：判别下列数列是否收敛→1数列收敛函数值随着自变量x的变化而变化2.1.2函数的极限(limitoffunction)研究函数的极限,就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的函数值的变化趋势。二、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限→变化趋势?→变化趋势?一、
4、自变量趋于无穷大时函数的极限时,函数f(x)的极限（变化趋势）1、时,函数f(x)的极限（变化趋势）2、时,函数f(x)的极限（变化趋势）3、时,函数f(x)的极限例：yy=f(x)→0→0时,函数f(x)的极限-∞y(X<0)y=f(x)→0+∞-∞y=f(x)→0时,函数f(x)的极限定义2.2：设函数，如果当X无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数A,则称当X趋于正无穷时，f(x)以A为极限，1.时,函数f(x)的极限记为定义2.2'：设函数，如果当X<0,而
5、X
6、无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数A,则称当X趋于负无穷时，f(x)以A
7、为极限，2.时,函数f(x)的极限记为定义2.2″:设函数，如果自变量X可取正值也可取负值，X的绝对值无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数A,则称当X趋于无穷时，f(x)以A为极限，3.时,函数f(x)的极限记为例不存在-∞+∞∞0正弦函数不存在例7讨论当时，函数二、自变量趋于有限值时函数的极限的变化趋势f(x)→变化趋势?为有限值x…1.9999991.99999999922.0000000012.0000.1…y…3.9999960000013.9999999960000000014.0000000040000000014.000040000
8、1…1x→2,f(x)→4（22）→xx…0.90.990.9990.999911.00011.0011.011.1…y…1.91.991.9991.9999不存在2.00012.0012.012.1…例8x→1,f(x)→2讨论函数x→1函数值的变化趋势2定义2.3：设函数y=f(x)在点x0的邻域内(点x0可以除外)有定义，如果当自变量x无限趋近于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限趋近于某个固定常数A,则称当x趋于x0时，函数以A为极限，记作函数极限定义：上例可记作函数极限定义的注意点1、邻域内有定义（x≠x0）不存在2、x无限趋近于x0]1
9、,1[)(-Î=xxxf例：0图象例（课后思考：函数极限存在的充分必要条件）不存在X从右测接近于0，y→+∞X从左测接近于0，y→-∞根据定义可以证明：以下的极限均成立C-、数列的极限：给定一个数列如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。-、数列的极限：记作或给定一个数列如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。设函数y=f(x)在点x0的邻域内(点x0可以除外)有定义，如果当自变量x无限趋近于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限趋近于某个固定常数A,则称当x趋于x0时，
10、函数以A为极限。二、函数y=f(x)的极限：记作小结思考练习题2、已知函数讨论是否存在？1、求下列极限的值3
