一般形式积分方程解的结构和性质

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1、在这篇文章中，我们研究方程摘要删IIIIIIIIliltIIIIIllY1960625u(z)=厶F杀f(y,u(y))匆(0-1)在一般情境下的解的性质．证明了解的正则性、对称性和单调性，也证明了积分方程(0-1)和微分方程(一△)a／2仳=／(x，u(z))他2)之间的等价性，并由此得到了相关的几个推论．我们主要的结论是定理1设珏∈Lq(舻)是方程他1)的—个解，当g>击并且厶I等掣l詈熹．那么u(x)属于L∞(舻)空间，因此是连续的．定理2设缸∈L口(册)是方程n1)的一个解，对于某个q>啬，假设有i)／(x

2、，u)和筹关于u是严格单调增的，ii)厶I-笔(y，u(y))l詈dy

3、是一△n／2tt=／(x，t‘(z))的弱解，反之亦然．定理3方程n1)的任意一个解乘以某一个常数C是方程一△口／2t‘=／(x，u(z))的—个弱解，反之亦然．本文在第三部分，用正则性提升定理证明了解的正则性，运用移动平面法的思想证明了解的对称性和解的单调性，并证明了在弱解存在的情况下，积分方程他1)和微分方程(0-2)解的等价性．在证明的过程中我们主要应用了正则性提升定理、积分不等式的极值原理和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式等．关键词：径向对称，积分形式的移动平面，正则性提升定理，Hardy-Littlewood-Sobo

4、lev不等式IIABSTRACTInthispaper，weconsiderthefollowinggeneralintegralequatione：u(z)=厶F杀他似训妇(0—1)．andobtainregularity,radialsymmetry,andmonotonicityofthesolutionsoftheequa-tion．Wealsoconsidertheequivalencebetweenintegralequation(0-1)andthepartialdif-ferentialequation(一△)口／2仳=，(z，t‘(

5、z))(0—2)intheweaksense．Wbalsoobtainsomecorollariesofourtheorems．Ourmainresultsarethefollowingtheorems：Theorem1Assumethat乱∈L4(舻)isasolutionof(0-1)forsomeq>老．Supposethat厶I错I詈熹．Thenu(z)isinL∞(舻)andhenceiscontinuous．Theorem2Lett‘∈L口(舻)beasolutionof(0-1)forsomeq>

6、老．Assumethat(i)，(z，tI)and甏arestrictlyincreasinginu，(ii)厶I-笔(y，u(y))l罟dy<00，and(iii)，(z，tI)issymmetricanddecreasingabouttheorigininXl-direction．ThentIissymmetricanddecreasingabouttheorigininXl-direction．Corollary1Lett正∈Lq(i妒)beasolutionof(0-1)satisfyingi)andii)inTheorem2．Inaddit

7、ion，assumethat，=／(Ixl，u)andfisstrictlydecreasinginH，thenⅡisradiallysymmetricanddecreasingabouttheoriginof舻．Corollary2Letu∈"(舻)beasolutionof(0-1)satisfyingi)andii)inTheorem2．Iff=f(u)then让mustberadiallysymmetricanddecreasingaboutsomepointin舻．Theorem3Everysolutionof(0-1)multiplied

8、byaconstantisalsoaweaksolutionof一△△／2u=f(x，u(z))，IIIan