关于欧氏空间r27n2b1中超曲面的几个问题

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1、西南大学硕士学位论文摘要关于欧氏空间Rn+l中超曲面的几个问题基础数学专业硕士研究生畅敏指导老师周家足教授摘要几何学研究空间中几何元素(如凸集，曲面，子流形等)的大小(内在不变量)和弯曲程度(外在不变量)，即体积和曲率，这是最基本的研究对象．反过来体积与曲率之间的等式或不等式也决定了几何元素的性质．在微分几何中，超曲面作为一类特殊的微分子流形，是微分几何理论研究中一个相当活跃的领域．特别是在R¨1中超曲面的研究比较丰富．E．Caftan活动标架法对于一般流形的研究则使微分几何进入了一个新的时代．它是研究微分流形的一个重要工具．对于R

2、叶-中超曲面的研究，主要研究其r阶中曲率珥，r=1，⋯，礼(关于主曲率的初等对称多项式)，尤其是对中曲率日l，纯量曲率如，和Gauss—Kronecker曲率日。的研究．当庇=2时，即在R3中，就是我们常说的中曲率日，和Gauss曲率K．对于R3中的曲面，Gauss的一个惊人发现是：GaUSS曲率是一个内在不变量．而Liebmann得到：R3中高斯曲率为常数的紧致连通曲面是球面．陈省身则利用以下两个引理给出了Liebmann定理的一个简单证明．引理3．2设M是R3中处处为脐点的连通曲面，则M必为球面或平面的一部分．引理3．3设M是G

3、auss曲率K为常数的紧致曲面，则K必大于零．这两个引理可推广到超曲面情形：定理3．4设M是欧氏空间Rn+1中完备连通的超曲面，若M是全脐点的，则M是超平面，或是n维超球面．定理3．5设M是欧氏空间R¨1中Gauss-Kronecker曲率上k为常数的紧致超曲面，则巩必大于零．本文根据陈省身思想运用活动标架法对这两个定理给出简化证明．关键词：Gauss—Kronecker曲率脐点超曲面西南大学硕士学位论文ABSn毛ACTSOMEPROBLEMSoNHYPERSURFACESINTHEEUCLIDEANSPACER佗+lMajor：D

4、ifferntialGeome珂Name：ChangMinSupervisor：ProfessorZhouJiazuABSTRACTGeometryinvestigatesthesize(intrinsic)andthecamber(extrinsic)ofgeo-metricsubjects(suchas，convexsets，surfacesandsubmainfoldsandetc．)inspace，thatis，investigatesthevolumesandcurvaturesofthesubjects．Theequal

5、itiesorinequalitiesamongvolumesandcurvaturesalsodeterminethepropertiesofgeomet—ricelements．Indifferentialgeometricthestudyofthehypersurfaces(asspecialsubmanifolds)isveryactiveinlastcenturyandfruitfulresearchresultshavebeenobtained．ThemovingorthogonalLamesmethodcreatedb

6、yE．Cartanguidesthestudyofgeneralmanifoldsintoanewera．Itisanimportanttoolforstudyingdiffer-entiMmanifolds．ThestudyonhpyersurfacesintheEuclideanspace酞”+1focuseson，ther-thmeancurvature耳，7’=1，⋯，佗，thesymmetricfunctionsoftheprincipalcurvatures．Weespeciallystudythemeancurvatu

7、re／／1，thescalarcurvature／／2，andtheGauss—Kroneckercurvature日n．Whenn=2，thatis，inR3，theyarethemeancurvature日andtheGausscurvatureK．ForsurfaceinR3．Gausshasfoundanamazingresult：theGausscurvatureisintrinsic．‘Thewell-knownmathematicianLiebmannprovesthatiftheGausscurvatureofasu

8、rface∑inR3isaconstantthenitmustbeasphere．S．S．CherngivesasimplifiedproofoftheLiebmanntheorembyusingthefollowinglemmas．