基于无套利模型的单向违约风险的利率互换定价

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1、．．第1章绪论dr=a(b—r)dt+adZ，0>O)(1—2)此模型比较简单，短期利率具有均值回复特征，但是利率有可能为负值，波动率较大，没能够将利率水平对波动率的影响考虑进去。Cox，Ingersoll和Ross(1985)年建立了CIR模型【13】，该模型假设短期利率形式为：dr=a(b—r)dt+a～／rdZ(1—3)此模型克服了Vasicek模型存在的缺点，在使得利率具有均值回复特征的同时，避免了其为负利率，在模型中把利率水平对波动率的影响加入进去，利率水平与波动率成正比。但是此模型能够生成的利率期限结构形状上较V

2、asicek模型受到限制，模型较复杂。单因素模型结构清晰、模型简单，使得其在实际中得到了广泛的应用，Dybvig．(1996)根据LittermanandScheinkman(1991)的发现，说明了单因素模型可以拟合收益率曲线的一阶变动‘141，但是LittermanandScheinkman(1991)提出的三因素模型指出，在一段时间内，美国收益率曲线的变动是收益率曲线平行移动、斜率变动、曲率变动三个独立变动的结合，在三因素中平行移动可以77％解释历史收益率曲线的变动‘”】。单因素在复杂的金融衍生品定价中可能因为微小的差

3、异而导致价格较大的偏差。因此，多因素模型应运而生。2)多因素模型一个因素不能够完全刻画短期利率的变化，因此后续研究提出了多因素模型。如BrennanandSchwartz(1979)提出的两因素模型【161，模型利率变动的过程可以表示为：：西=q+6lU—r)dt+ral忽(1—4)dl=(口2+62，+c21)dt+la2dW(1—5)式中，，——到期期限的短期利率，——永久利率q——到期期限短的利率的标准差仃，——永久利率的标准差该模型具有利率不为负且瞬时利率向长期利率回归的特性，但是其计算起来难度大。(2)无套利模型无

4、套利模型不是根据经济理论或者假说确定收益率曲线的形状，该模型认为收益率曲线是给定的，假设收益率曲线变动是为了确定其他相关的利率衍生品的价值【171。5哈尔滨工程大学硕士学位论文Ho和Lee(1986)第一次提出了无套利利率期限结构模型‘18】，其在连续时间下的极限形式为：dr(t)=O(t)dt+crdW(1—6)此模型简单、明确，但是由于其把标准差设为常数，与实际市场上不符合，并且其不具有均值回复特性，利率有可能为负。Hull和White(1990)对Vasicek模型进行了拓展研究，使得其能够与初始利率期限结构相吻合【1

5、91。其表达式为：ar(t)=[O(t)-ar(t)]dt+仃d矿(1-7)此模型使得利率具有均值回复特性，且很容易求解。Black,Derman和Toy(1990)提出BDT模型，该模型假设短期利率服从对数正态分布的--X树模型【201，其可以表示为：●dlnr(t)=【p(f)-(cr／a)Inr(t)ldt+a(t)dW(1—8)式中，13"‘——下一个时间段的短期利率，．的瞬时标准差a(f)——又当前无风险利率曲线决定的该模型能够反应利率期限结构的实际波动情况，还允许短期波动率随时间波动。Heath,Jarrow和M

6、orton(1992)年提出一种新的方法，在波动率的期限结构和利率模型的变量之间建立数学联系，把波动率的期限结构表示成了瞬时远期利率变动的函数口11。在此对单因子模型进行介绍，在此模型中，货币市场的远期利率的价格变动可以表示成：矽(}，T木)=m(t，T木)dt+a(t，T木)dZ(1—9)在HJM法则下，m(t，丁枣)，a(t，T拳)都可以用仃Pp，T木)表示，因此用于确定债券价格的波动率平面实际上也可以确定整个远期利率的变动过程。此模型非常灵活，利用不同的波动率平面能够推出其他模型，是无套利模型的一般框架。Goldste

7、in[221(2000)，Santa．ClaraandSomeUe(2001)及Longstaff,Santa-Clara,andSchwartz(LSS；2002)介绍了期限结构的弦模型。该模型定义即期收益率曲线的所有零息债券是独立的风险来源。模型假设债券价格变动服从下式：ae(t，T木)=rq)P(t，T木)破+a(T木-t)P(t，T木)dZ(t，T木)(1-10)此模型可以不断产生新的无套利贴现函数，且为建立多个风险因子提供了直观并具有建设性的方法。此模型能够将不同的波动率期限结构融入模型，具有灵活性，能产生不同的无

8、套利模型。此模型不再具有叉树的合并性，模型估值是以一次向前模拟6一第1章绪论一期从而模拟整个收益率曲线。利用该模型为衍生品定价计算量大，但是其具有很大的灵活性，能使得收益率曲线呈现不同形状。从以上论述中，看出均衡模型和无套利模型有各自的优缺点，在实际应用中均有限制。均衡模型中的参数都是从历