两类风险模型的破产问题分析

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1、曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明本人郑重声明：此处所提交的硕士论文《两类风险模型的破产问题研究》，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果．论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果．对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明．本声明的法律结果将完全由本人承担．作者始柱蜘嗍沙吼够、8／曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书《两类风险模型的破产问题研究》系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文．本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论

2、文的研究内容不得以其他单位的名义发表．本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅，本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容．作者签名：撕日期：伽扩～瓴》翩豁多乏笋魄∥胁cp第一章带干扰的保费随机化风险模型的生存概率§1．1预备知识本文研究一类保费随机化风险模型，定义t时刻保险公司的总盈余为：M(￡)Jv(t)∥(￡)=心+∑x一∑K+∥(￡)，t≥0，(1．1．1)i=1其中让为初始盈余，{M(￡)

3、，t≥o)是一个强度参数为入的Poisson过程，M(t)表示在f0，t】时间段内的保费来到次数，保费来到时间间隔为{7ri；i≥1}，是独立同分布的指数随机变量序列；{K；主≥1}表示个体保费额，并假设E[X】=仃l，E[X2】=仃2；{Ⅳ(￡)，t≥0}为Erlang(2，6)更新记数过程，即索赔来到时间间隔(厶；i≥1}是独立同分布的Erlang(2，6)随机变量序列，

4、[Ⅳ(z)}，{置}，{K)，{缈(￡)}相互独立，定义：丁：P八晓0，叭幻<0}'‘IoC；，若上集为空集，称T为破产时．·生存概率定义为：R(u)=P(T=oolU(O)=乱)；破产概率为：砂(乱)=1一兄(扎)。全文假设风险余额过程具有如下正的相对安全负荷，即：0：—2A—a-=l—-一5#>0．《)工盖定义函数，(锃)的Laplace的变换：m)=／eq缸y(u)du．-，O因为Brawn运动具有常返性质，所以n(o)=0．一箜=童堂王垫笪堡塞堕垫丝垦堕堡型笪生壹堡奎§1．2主要结果由于{厶，i≥1)是独立同分布Erlan

5、g(2，6)随机变量序列，因此厶可以写成L1=Lll+L12，L2=L21+L22，．．．，其中￡ll，L12，L2l，L22，．．．，为独立同分布的参数为石的指数随机变量．考虑一个延迟更新过程；{Ⅳ(￡)，t≥o}，在此过程中，￡l=L12，{厶，l≥2}为一列Erlan9(2，6)随机变量，用N(t)代替Ⅳ(￡)，记{U(亡)，t≥o，和R(u)分别为相应的余额过程和生存概率，有下列定理成立：定理1．1．1生存概率R(u)满足下列积分微分方程：，．“62R(让)一62／R(让一y)p(y)du‘，O=25Aal爿(u)+[25

6、(D+a2)一(盯lA)2]咒’’(让)(1·2·1)一2(D+砚入)A盯lR(2’(u)一(D+0"2A)2R(4’(u)．证明我们考虑{u(t)，t≥o)在充分小的区间【o，△叫的可能情况，由于尸(Ll≤At)=o(At)，P(N(At)=1)=o(At)分析在此区间内{L11，7r1)是否发生由全概率公式及指数分布的无记忆性，有：R(u)=P(rl>At)P(Ln>At)ER(u+w(At))+P(rl>At)P(Ln≤At)ER(u+w(At))．(1．2．2)+尸(丌l≤△t)P(L11>At)ER(u+Xl+w(At)

7、)+P(rl≤At)P(Ln≤At)ER(u+Xl+w(At)+D(△t))，分析{u(亡)，t≥o)过程：R(U)=P(rl>At)P(L12>At)ER(u+w(At))ru+w(z、t)+尸(7rl>At)P(L,2≤At)E／冗(u+w(At)一可)p(!，)d可'，0+P(rl≤△t)P(己12>At)ER(u+X1+w(△￡))(1．2．3)+P(，rl≤At)P(L,2≤At)fu+zl+wca(o)，、。E／R(札+x1+W(At))p(y)dy+o(／kt)，2曲阜师范大学硕士学位论文又因为尸(丌l>At)=1一

8、AAt4-o(At)，P(Ln>△￡)=P(L12>At)=l一6At+o(At)，P(7r1≤At)=AAt+o(At)，P(Ln≤At)=P(L,2≤At)=6△￡4-o(At)．利用Talor展开式，于是得到：{袁◆}器(1．2．4)(1．2