2003 年高考江苏卷 21 题思路与解法《中学数学月刊》....doc

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1、本文发表于《中学数学月刊》2003年第8期2003年全国高考(江苏卷)21题的思路与解法215006苏州市第一中学刘祖希(第二作者)2003年全国高考（江苏卷）第21题内容新、题型新，集中考察了导数和不等式证明等知识，解答的思路和方法较多，这里给出不同层次的若干思路和方法供参考.已知，为正整数.()设，证明；()设，对任意，证明.先解答第()题：思路一：用导数定义.证法1：∵,∴，即.证法2：∵,∴6，即.思路二：直接使用二项式定理和多项式求导公式.证法3：∵，.对有，.再解答第()题：易得，，命题转化为证明，，加强命题，证明.（*）思路1：用导数证明单调性进而证明（*）式.证

2、法1：∵，（）∴在上递增.∴，即.6这种方法简单明了，前后呼应，符合命题思路.思路2：利用分解因式证明（*）式.证法2：∵，及，又因为对任意，，∴.另外，（*）式等价于，其本质是以下的一般命题：对自然数，若且，则.（**）思路3：用数学归纳法证明（**）式.证法3：时，由，，显然.假设及时，（**）式成立，则时，，∵，∴.由上知（**）成立.取，得（下同从略）.思路4：用增量法及二项式定理证明（**）式.证法4：记，6∴，若为偶数，；若为奇数，，∴.证法5：记，∵，∴是关于的增函数.∴，即.注：是关于的增函数也可用导数证明.思路5：用凸函数性质证明（**）式.证法6：取函数，∵

3、，∴在上是下凸函数，对任意成立，取，则，∴，，相加得，.思路6：用均值不等式证明（**）式.证法7：取，则，6利用均值不等式，，得，①，②，①②，得，∴，③同理，，④③④得，.思路7：用柯西不等式推广式证明（**）式.引理：设，则.（柯西不等式推广）事实上，，，相加得，.证法8：取，则，由上述引理，，同理，，相加得，.思路8：用拉格朗日中值定理证明（*）式.拉格朗日中值定理：函数在闭区间上可导，则至少存在一点，使得.证法9：函数在上可导，6若，则，则存在一点，使得；且存在一点，使得；∵在上递增，，∴，，即；若，则，同理可证，即.思路9：用贝努利不等式证明（*）式.贝努利不等式：

4、设且，对任意，有.证法10：对，∵,，由贝努利不等式，∴，，两边同乘，∴，，∴且.若，分别取及，则，即得（*）式：；若，分别取及，则，同乘即得（*）式：.6