广义高阶微分中值定理的推广及其“中间点”的渐近性质 数学系本科生毕业论文

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1、中文摘要当函数在内的可导条件减弱为在内的任意点的左、右导数都存在时，本文研究微分中值定理（Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理）更一般的推广形式。接着讨论m个函数情形下的微分中值定理、高阶微分中值定理，以及m个函数情形下高阶微分中值定理的推广及其“中间点”的渐近性质，得到广义高阶微分中值定理“中间点”的渐近估计式。关键词：微分中值定理，推广，高阶，渐近性质，m个函数18ABSTRACTThispaperexploresthemoregeneralextendedformsofthedifferentialmeanvaluetheorems(includ

2、ingRolleMeanValueTheorem,Lagrangemeanvaluetheorem,theCauchyMeanValueTheorem),whentheconditionsdecreaseintothis:bothleftandrightderivativesofthefunctionateverypointofwithinexist.Thenthepaperdiscussesgeneralizedformsandtheintermediatepoint’sasymptoticpropertiesaboutmfunctionsofdifferentialmeanva

3、luetheorem,highorderofdifferentialmeanvaluetheorem,aswellasmfunctionsofhighorderdifferentialmeanvaluetheorem,atlastIobtainintermediatepoint’sgeneralizedasymptoticestimationformulasofhighorderdifferentialmeanvaluetheorem.KeyWords：Differentialmeanvaluetheorem，generalextendedform，highorder，Asympt

4、oticproperties，mfunctions181.绪论1.1前言微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系。微分中值定理的研究，从诞生到现在的近3O0年间一直是个热点，取得了许多成果，如得到了微分中值定理的多种推广形式（包括一阶[1][2]、高阶[3][4][5]、多个函数[6][7]、无限区间[8][9]的推广），以及“中间点”的多种渐近性质和估计式[10-14]。但是，文献[15]只是讨论了广义一阶微分中值定理

5、的渐近性，而在文献[15]中更弱条件下，目前关于广义高阶微分中值定理的推广及其“中间点”的渐近性质、多个函数情况下“中间点”的渐近性质方面的研究非常少。1.2研究内容本文要研究的内容有：（1）将函数在内的可导条件减弱成为在内的任意点的左、右导数都存在，得到微分中值定理（Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理）的更一般的结论；（2）进一步讨论关于m个函数情形下的微分中值定理推广形式；（3）研究高阶微分中值定理的推广形式；（4）在第（1）、第（2）和第（3）研究工作的基础上，进一步讨论中间点的渐近性问题，得到广义高阶微分中值定理的“中间点”的渐近估计式。2.

6、微分中值定理及其推广2.1一阶微分中值定理引理1（Rolle中值定理）若函数在上连续，在开区间内可导，且，则至少存在一点，使得.(2.1)引理2[12]（Lagrange中值定理）设在上连续，在内可导，则在内必有一点，使得18，（，）.(2.2)引理3[12]（Cauchy中值定理）设，在上连续，在内可导，且对任意，有，则在内至少存在一点，使得.(2.3)引理4[6]（广义Rolle中值定理）若函数在区间上连续，对，，存在且，则至少存在一点及非负数、，，使得.(2.4)引理5[15]（广义Lagrange中值定理）若函数在区间上连续，在内的任意点的左、右导数（即，）都存在，则对于，

7、存在及正数、，满足，使得.(2.5)引理6[15]（广义Cauchy中值定理）若函数，在区间上连续，且，，，在内存在，又设，在内非负或非正，但不同时为零，，则对任意，，及正数、且，使得.(2.6)定理1（m个函数情形下的广义Rolle中值定理）设是定义在上的m个函数，，，且，若满足：(i)在上连续，在内可导；(ii)在上、存在；(iii)则存在，及，满足，使得.(2.7)18证明：令则，由已知条件和引理4得存在，及，满足，使得，即.定理2（m个函数情形下的广义Lagr