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《积分第二中值定理的应用及中间点的渐近性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、关于积分第二中值定理的探讨范喜红指导老师：朱福国(河西学院数学与统计学院甘肃张掖734000)摘要本文以实例的形式,列举了积分第二中值定理在判别无界函数积分收敛,解决与极限有关的问题,证明积分的不等式和等式等方面的应用.并讨论了减弱条件的积分第二中值定理“中间点”的渐近性态.关键词积分第二中值定理；应用；中间点；渐近性态中图分类号O172.2OntheintegralofthesecondmeanvaluetheoremFanXihongInstructorZhuFuguo(SchoolofMathematicsandStatistics,HexiUniv
2、ersity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Inthispaper,asaninstanceof,Thesecondliststheintegralmeanvaluetheoreminidentifyingtheconvergencepointsofunboundedfunctions,solveproblemsofthelimit,Proveintegralinequalitiesandequationsinsuchapplications.Anddiscussedtheweakenedconditionofthesecon
3、dintegralmeanvaluetheorem"middlepoint"oftheprogressivestate.朗显示对应的拉丁字符的拼音 字典KkkKeywords:Thesecondintegralmeanvaluetheorem;Application;Mid-point;Asymptoticbehavior1引言积分第二中值定理是数学分析的基本定理,在判别无界函数积分收敛、证明定积分的不等式、解决与极限有关的问题等方面有广泛应用.为加深积分第二中值定理的理解初步探讨了“中间点”的渐近性态.2积分第二中值定理定理如果是上的可积函数,且在单调,
4、则至少存在一点使得(1)3积分第二中值定理的应用3.1无界函数积分收敛的判别法.例1阿贝尔判别法：设在有奇点,收敛,其中,5单调有界,那么积分收敛.证明依假设,利用第二积分中值定理,在任何上,存在使得,又因为收敛,所以对任意的,存在满足,且,时,有,.因为有界,不妨设,所以有当,时,.由柯西积分原理得,收敛.3.2与极限有关的问题.例2设,试计算.解取,则在上递减,由积分第二中值定理有因此.3.3证明积分不等式和等式.例3设在上连续，且单调增加，证明：.证明因为5所以.例4设,,证明：,使得.证明令,,则在上连续,又,所以在上严格单调减少,且非负.于是,由
5、积分第二中值定理知,,使得,即令,则有,且.4积分第二中值定理中间点的渐近性态定理2设函数在上连续且不变号,,在上单调且连续,存在,且=…==0,,则对于(1)中的有或5定理2的条件还是稍强了一些,实际上这个定理的条件还可以减弱.下面给出定理2条件减弱的“中值点”的渐进性定理:定理3设函数在上连续且不变号,且,在上单调,存在,=…==0,,则对于式(1)中的有证明由题设可得.由在上连续,则有,.由存在,==…==0，,容易证明（2）（3）另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式（2）,我们有5（4）其中,.由式（3）和式（4）即得.比较定理2和定理
6、3可以看出,定理3的条件比定理2的弱，但得到的结果相同.致谢衷心感谢朱福国老师的悉心指导!参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.223-224.[2]朱碧,王磊.积分第二中值定理的一些推广及其应[J].数学教学与研究,2008,30:49-50.[3]吴志友,夏雪.积分第二中值定理“中值点”的渐近性[J].数学的实践与认识,2004,34（3）：170-176.[4]陈新一,唐文玲.关于积分第二中值定理“中值点”的一个注记[J].甘肃联合大学学报,2005,19（3）：3-5.5
